用真值表检查有效性
正如我们看到的，真值表可以提供确定一个复合命题是否重言、矛盾或者偶真式（或然式、可满足式）的程序。而且，这是一种可行方式，在有穷步骤内应用特定规则就可以产生结果。但是，这里将要详细阐释真值表的另一个用途：真值表可以使我们机动地确定一个论证形式是否有效。考察下列论证：
例12-1 1. 水牛（buffalo）或者丛林狼（coyotes）是食草动物。
2. 水牛是食草动物。
3. 丛林狼不是食草动物。
为了确定例12-1是否有效，首先需要获得它的论证形式。第一步，我们把例12-1的前提和结论翻译成标准的符号语言，可以得到：
例12-1a 1. B∨C
2. B
3.～C
第二步，使用逗号断开前提，在结论前面填上“∴”，读作 “所以”，把上述纵向排列形式转化成如下横向排列形式：
例12-1a B∨C，B∴～C
现在可以使用真值表检测这一形式的有效性。首先，我们在真值表的右上角输入上述公式，左上角输入公式中出现的所有简单命题。其次，依据2n计算所有简单命题的真值组合，这个公式的值应该是22（因为出现的简单命题只有B和C）。完成这些之后，我们集中考察表示前提和结论的较短的公式，并依次计算出它们的真值。按照第11章所描述的标准方式进行计算。最后一步，我们（按照本章将要解释的方式）检查上述论证是否有效。检查上述例12-1有效性的真值表是：
例12-2
例12-2中表示前提和结论的所有公式的值都被计算出来了。如何做到这一点呢？可以如此推理：第一个前提是析取式，已知B和C的真值，应用析取的真值规则可以计算出整个析取式的真值。楔形符号下面，右边第一栏表示的是计算的结果。因为第二个前提B是简单命题，我们不可能使用联结词的真值规则计算它的真值。因此，它的值与左边第一栏相同。也就是说，我们只要把那些真值转移到表的右边即可（这一步可以省略，因为B的值就在左边第一栏，可以直接使用）。然后在C的真值上面，即左边第二栏上应用否定词的规则计算～C的值。如真值表右边第三栏所示，我们要在波浪线下填写计算结果。现在可以检查右上方的形式是否有效。为了确定这一点，我们横向浏览B∨C，B以及～C的值（忽略列）。找出前提B∨C以及B都真，但结论～C为假的那一行。恰好就是第一行。这就表明公式所表示的论证形式无效，原因如下：
如果检测某一论证形式的真值表至少有一行是前提真、结论假，那就证明这个形式无效。
专栏12-1 真值表与有效性有什么联系
有效性与真值表之间的关系仅是：
（1）如果一个论证有可能是所有前提都真，但结论假──也就是说，真值表有一行或多行是如此情况──那么它就是无效式。
（2）但如果上述情况不可能发生──也就是说，真值表没有这么一行──那么它就是有效式。
（如果一个论证形式有可能是所有前提都真、但结论假，那么从前提推不出结论。）
上述真值表的第一行（如箭头所示）证明了需要检测的形式的无效性（依据专栏12-1中指出的基本原理）。我们以这种方式证明例12-1是无效式。可以建构类似的真值表证明任何具有相同形式的不同论证的无效性。例如，
例12-3 要么是媒体提高了大众的自觉性，要么是大众的观点导致了公共政策。
因为媒体提高了大众的自觉性，所以，并非大众的观点导致了公共政策。
因为这个论证与上述例12-1具有相同形式，任何检测有效性的正确真值表都将与例12-2相同（作为练习，自己应建构这样一个真值表）。
现在使用一个真值表检测另一个论证的有效性：
例12-4 1. 如果萨莉在总统选举中投了票，那么她就是公民。
2. 萨莉不是公民。
3. 萨莉没在总统选举中投票。
这个论证的形式是：
例12-4a M∩C，～C∴～M
首先需要注意的是，这个论证形式包括两个简单命题，M和C，并且分别出现了两次。因此，真值表的左边只需要四个值（两真，两假），共有四行。其次，计算例12-4a前提和结论的真值。它们都是复合命题，真值情况将在联结词下面排列；第一个前提的真值排列在“∩”下面；第二个前提和结论的真值排列在“～”下面。这个论证并不包括简单命题；因此，为了检测有效性，我们仅需浏览联结词下面每一栏的每一行：前提栏是在“∩”和“～”下面，结论的是在“～”下面。最后我们要找出所有前提都真，但结论为假，即表示无效性的那一栏。但真值表中并没有这一行。
例12-5
没有这一行意味着例12-4和例12-4a都有效。这个测试可以证明有效性是因为真值表穷尽了所有可能的前提与结论的真值组合，而且没有哪一行显示前者为真、后者为假。因此，具有例12-4a这一形式的所有论证，从其前提可以推出结论。考察以下论证：
例12-6 如果蒂娜·黑尔教授在利物浦大学，那么她就在英国工作。蒂娜·黑尔教授并不在英国工作，因此，蒂娜·黑尔教授不在利物浦大学。
例12-7 如果地球不是行星，那么火星也不是。但火星是行星，因此，地球也是。
自行练习建构一个真值表来检测它们的有效性。你会发现最终结果与上述例12-5完全相同。
再看一个较复杂的论证。
例12-8 因为法国不是联合国成员，可以推出英国也不是。因为，如果法国不是，那么荷兰或者英国是。
可以把例12-8解释为
例12-8a 1. 法国不是联合国成员。
2. 如果法国不是，那么荷兰或者英国是。
3. 英国不是联合国成员。
其形式是
例12-8b ～F，～F∩ （N∨B）∴～B
测试例12-8b的有效性，首先需要注意，其中出现了三个简单命题，真值表将有八行。在真值表左边写下这些简单命题真值的所有可能组合之后，计算前提和结论的真值，在右边联结词下面输入计算结果。下面是真值表，箭头指向的行表明这个形式无效：
例12-9
例12-9右边较复杂的公式表示的是论证的第二个前提：它包含三个联结词。如何确定哪个是最主要的？通过仔细阅读和括号来确定：后者告诉我们～F和（N∨B）通过∩连接。但为了确定∩下面一栏的真值，首先需要知道其前件～F，和后件N∨B的真值情况。在真值表左边的F上使用否定词的真值规则就可以确定～F的真值，之后在～F──第一个前提下面输入那些值（也可以不写）。依据左边N和B的真值，使用析取规则计算出N∨B的值。计算～B真值的方式与计算～F的类似。完成这些工作后，我们只需要浏览真值表右边表示前提和结论真值的行。向自己发问：是否存在两个前提都真，但结论为假的行？答案是肯定的！一共有两行：第五行和第七行。这就证明例12-8b无效，而任何具有这一形式的论证，如例12-8就是无效的。
专栏12-2 如何使用真值表检测有效性
（1）使用真值表去检查一个论证的有效性时，首先在右上方写上刻画论证形式的那个公式。
（2）公式中出现的所有不同种类的命题都位于真值表的左上方。
（3）公式下面的行穷尽了所有前提与结论真值的可能组合。
（4）为了确定一个论证形式是否有效，必须浏览公式下面的所有行。
（5）如果有一行显示前提真而结论假，这就证明该论证形式无效。
（6）如果没有这一行，论证形式就是有效的。