2017年11月和梦馨的老师们开完家长会后，尚未来得及和她深谈，我就到中国出差了。在中国期间，我给她写了这封信。
梦馨：
你最近数学成绩有所下滑，我希望你能够尽快补上这门课所有的欠缺，因为数学实在很重要。那天开家长会，老师问你数学有什么重要性，你对它的了解除了做题似乎没有更深的体会。今天，我和你谈谈数学的重要性。
每一个学生都学过数学，但是大部分人在毕业后，就渐渐把它遗忘了，以致除了加减乘除，其他计算都不会了，更不知道数学有什么用，进而怀疑学习数学的重要性。在很多人看来，不学习数学也能养活自己，只要平时算账别算错就好。其实，学习数学的意义远远超过算账，否则大家小学毕业就不用再上数学课了。
对于数学的用途，我是有切身体会的。如果我没有学好数学，就不可能胜任谷歌的工作，今天的收入至少要少一个数量级，甚至可能没有稳定的工作。虽然我不做数学家的工作，但是数学依然对我很有用，因为它承载的知识用途远远超过它表面的作用。我觉得学习数学至少有三个好处。
第一，它是所有自然科学的基础，甚至对经济学这样的人文学科也至关重要。
1951年，沃森和克里克发现了DNA（脱氧核糖核酸）的双螺旋结构。当时，全世界很多科学家都试图最先发现DNA的结构。沃森和克里克起步相对较晚，但是他们的优势在于数学基础比较好。别人在先通过X光衍射仪器看到DNA的图片后试图构建它的模型，而他们则是先想象出DNA的空间模型，然后用实验数据确认。前者的做法有点儿像工匠总结经验，后者则是数学家的做法。沃森和克里克最终后来者居上，率先发现了DNA的双螺旋结构。从这个故事可以看出，数学知识，特别是数学思维对很多研究的重要性。在物理学，生理学或医学，以及经济学的诺贝尔奖中，有不少工作直接和数学有关，比如1979年豪斯菲尔德和科马克因发明CT（计算机断层扫描）算法而获得诺贝尔生理学或医学奖。
我在谷歌工作的时候，写了《数学之美》这本书，介绍谷歌等公司的IT背后的数学原理。让我想不到的是，这本我原以为不会有太多人读的书竟然成为畅销书。很多读者表示他们从书中受到了启发，将数学用到了各个领域之中。今天，世界上最成功的对冲基金文艺复兴科技公司也是由数学家和理论物理学家创办的。它的创始人西蒙斯曾经是纽约州立大学数学系的主任，著名的微分几何专家。这个基金中几乎每个人都是学习数学和理论物理的，反而没有学习金融的。
如果你想听上面这样的例子，我可以给你举很多。对于那些在各个行业成就出众的人来说，数学是一个很好的工具。今天学习数学的人其实很少有人是以数学家为职业的，大多数人只是把数学作为工具使用。
第二，在中学之后学习数学的一个主要目的是培养人的逻辑推理能力，因为逻辑推理是数学的基础。我们在很多时候，无论是在生活中，还是在工作中，都需要做一些推理判断，也就是从已知条件出发得到合理的结论。这中间需要一步步推理，不能凭想象得出结论。很多学生学习数学，为了考一个好成绩，只注重学习解题技巧，对一些方法死记硬背，而忽视了背后的逻辑性，这就偏离了学习数学的目的。背下来一些解题技巧固然是一个捷径，但是当遇到那些解题技巧没有涵盖的所谓难题时，自然就不会做了。低水平的老师和笨学生，总是试图采用题海战术，覆盖各种考试题。好老师则训练学生的逻辑思维能力，而好学生在学习数学时也是平衡理解力、逻辑能力和基础知识三者的关系，做到事半功倍。
你可能会奇怪为什么我经常要你读完教科书中的内容，把里面的公式推导一遍，这似乎是浪费时间，因为老师在课堂上已经讲过了。我只是希望你能通过这种方式掌握逻辑推理的方法。
第三，学习数学可以提高你的阅读理解能力。很多时候，我发现你之所以把题目做错了，是因为你把题目读错了，或者没有读懂。当你再读一遍题目的时候，你就会做了。这种问题很常见，不只你有，很多学生都是如此。数学没有学好，是因为理解力不够。很多所谓的数学难题，不过是因为一些已知条件没有直接写出来，而是隐含的。理解能力强的人，则能够从表面意思理解深层意思。比如题目中给了一个等边三角形，它意味着什么呢？不仅告诉你每条边都相等，每个角等于60度，三角形内部任何一个点到三条边的距离之和都相等，高等于边长的√3/2，等等，其实给了一大堆已知条件。
通过字面含义，读懂真实含义，这个技能将来不仅在数学中有用，在生活和工作中也能经常用到。比如我告诉你一个学术会议将在纽约举行，它意味着什么呢？除了告诉你那是美国东部的一个大城市、金融中心之外，还告诉你那里有几千万人口，出门会拥堵，要多留点儿时间。当然那里有无数景点和博物馆，你如果有空儿可以逛逛。此外，纽约有三个机场可以选择起降，这样便于你从最喜欢的航空公司买票。纽约还有很多好吃的饭馆，你可以和同事一同去吃饭，去社交，等等。
至于如何学好数学，特别是在不需要做太多题、花太多时间的前提下学好数学，根据我的经验，做好以下三件事就能做到事半功倍。
其一，还是前面提到的提高阅读理解能力。看懂书，读懂题是解题的基础，这一条常常被大家忘却。
其二，建立比较完整的数学知识体系。你们在课堂上学的大部分内容，都落在这个范畴中。在理解了题目之后，解题的第二个要素就是要看基本的数学知识是否掌握了。如果你不知道勾股定理，给你一个直角三角形的两条边，你是无论如何也算不出第三条边的。不过，有时，人们把学习数学单纯理解为学习数学知识点，缺乏系统性，这样就做不出来难题。美国绝大部分中学基本的数学知识教育是有所欠缺的。我的一个读者是斯坦福大学的博士生，他在做助教时发现有1/5的斯坦福学生居然不知道sin90°是多少，还要问教授。那个教授是从法国毕业的，非常鄙夷地看着这群学生，问他们：“你们是怎么混进斯坦福的？”因为这个问题对于法国学生来说完全就是数学常识。斯坦福的学生数学基础知识如此欠缺，其他大学的学生只会更糟糕。但是世界上有很多国家的学生并非如此，因此不能以达到美国高中对数学基本知识的要求为满足。
第三，善用逻辑。任何数学结论，都是从已知条件出发，严格逻辑推理的结果。一个人能否进行有效的逻辑推理，不仅仅关乎他能否学好数学，也关系到他能否把其他事情做好。这又回到了学习数学的意义。
虽然，我没有在美国上过中学数学课，但是我相信学习数学的方法是相通的。我前几天把你们的AIME（美国数学邀请赛）的题打印了一份，做了做，成绩是12分，这在美国是罕见的好成绩。这说明我在中国学到的解题方法，对美国的问题还是有效的。
学习数学是一个慢功夫，但是如果方法得当，见效要比学习语言快一些，半年左右的时间就能见效。因此，你不要着急，慢慢来，几个月后，就能看到自己努力的效果了。
你的父亲2017年11月