第一节
按照亚里士多德的学说：存在着两种推理类型或无矛盾地从一个判断推导另一个判断的模式：从较一般的判断到较特殊的判断，用三段论；从特殊判断到包含它们的一般判断，用现今所谓的归纳。如果形成科学或体系的判断能按照这些模式相互推导出来，那么它们便完全彼此适应而无矛盾。仅仅这一点就表明，新的知识源泉的开发不能是逻辑法则的任务，确切地讲，逻辑法则只是有助于审查从其他源泉引出的发现是一致还是不一致，若不一致则指明需要保证充分的一致。
第二节
首先利用一个方便的例子，理解一下在图 7中图示的三段论：凡人皆有死（一般的大前提），凯厄斯是人（特殊的小前提），故凯厄斯有死（结论）。
J．S．穆勒指出，三段论不能产生人们原先没有的洞察，因为人们除非也确定了结论的特例，否则人们不能一般地说出大前提。除非有死包含有凯厄斯有死，否则它不能就所有人断言。为了确立大前提，纯粹逻辑学家必须等待任何未来的凯厄斯死去，而依赖三段论的凯厄斯却无法经验他自己的有死的确凿性。确实，没有几个人相信知识的创造唯有通过逻辑的功能，但是正如附随的讨论表明的，穆勒的批评有用地厘清了要旨。事实上，自从康德辨认出算术和几何学之类的科学并非仅仅由逻辑推导建立，而且也需要知识的来源以来，他就阐明了这一点。不过，纯粹的先验直觉原来不是这样的来源。贝内克也十分明白，三段论决没有超越被给予的东西。它们只是使我们更清楚地意识到判断相互依赖的方式。对于不仔细的心理过程的观察来说，三段论当然可以产生较广泛的洞察的外观。例如，让我们从下述命题开始：三角形的外角u等于两个相对的内用a＋b之和。若现在在外角顶点相交的两边相等，则u＝Za。若以这个顶点为中心我们画一个圆通过另外两个顶点，则新作的图表明，圆心角是周缘角的两倍，即是2a。然而，如果我们细心地消除附加的作图和用三段论来引入的特殊化的所有观念，那么我们没有发现比原来的关于外角的命题更多的东西。
第三节
探究这个命题的终极来源，我们发现它是一个经验事实，按照这个经验事实，我们能够测量的任何平面三角形的角之和未显示偏离两直角。在较长的推导中，新奇的外表甚至更强烈地出现了。以欧几里得对毕达哥拉斯定理的证明为例。在 ab上的正方形是acf的面积的两倍，而acf与三角形aeb全等；但是，两倍的那个三角形等于从b到ac的垂线形成的矩形agde。同样地处理在图8中没有表示出来的右边的部分，便完成该定理。在这里，我们利用了简单的全等定理（借助边和角决定三角形的大小和形状）和图形等面积定理。边的平方之间的奇异的和未曾料到的关系这一结果将使任何初学者感到惊讶不已，但是新奇性再次仅仅依赖于作图，而不依赖于推导的形式。请回忆一下，除了作图以外，所使用的定理建立在不改变大小和形状的情况下可以替代的图形的事实之上，这就是我们在毕达哥拉斯定理中看到的一切。
初学者也许从斜角的图形中获悉有关乎行四边形的命题，并把它应用到矩形，他可能从未在与那个命题的关联中想到矩形。如果他为该结果感到惊奇，那么他便不能在不涉及邻边的角的情况下以充分抽象的方式考虑对边的平行。请关注抽象并把注意力集中于本质而忽略要求实践的枝节问题吧，正如每一个学生将要经历的，不如此注意就会时而以这种方式、时而以那种方式离开原来的进程。例如，在进行演绎时，反复思考会引起注意和矫正这些离题，从而改善抽象。一些具有实践的人比如将看到，正方形的对角线相互平分对于所有平行四边形是共同的，相等的对角钱对于所有矩形是共同的，以直角相交对于菱形和某些其他四边形是共同的。
从较一般的命题（在它们的特殊化的形式中罕见地明确设想过）开始、推进到较特殊的命题的三段论演绎，借助改变和组合各种观点，通过一些中间环节，在这里能够使我们误以为看到未包含在前提中的新洞察。然而，相同的命题能够直接被看见，即使通过建立分离的要素更容易把握它们。演绎的恰当价值正是在这里，而不在于创造新知识。
第四节
如果把成功的案例用语言固定在定义和命题中，以便存储在记忆里的话，那么抽象的弱点便可大大地得到补救。这解脱了思维并使它免去疲劳，因为它将不必每次面临相同的努力。尽管必须从其他地方获得三段论藉以操作的基本知识，但是逻辑操作并非没有用处。它使我们清楚地意识到各种洞察相互依赖的方式，把我们从不得不寻求已经包含在其他一些命题中的特殊基础中拯救出来。即使我们在逻辑上由以开始的命题不是绝对可靠的，它们依然在逻辑上还是合用的。假定我们有未被确立的大前提B是A，那么它还会是这样的格：若B是A且C是B，则C是A。当我们把当代科学甚至数学的所有命题应用于不管是自然的还是人工的实在对象时，我们实际上应该正是在这一涵义上看待它们的，图为它们从来也不是完全对应于抽象的理想的。
第五节
现在，让我们考察一下三段论的配对物归纳，设C1，C2，C3……是其概念为B（图7）的类中的成员。我们观察到，每一个都落在A的概念之下。若C1，C2，C3……穷竭了B的外延且一切都归入A之下，则B作为一个整体也同样进行，归纳被称之为完备的。若我们不能证明所有C的成员落在A之下且我们在没有穷竭B的外延的情况下还推断B是A，则归纳是不完备的。在这个案例中，推论在逻辑上得不到辨护。不过，由于联想和习惯的功能，我们能够发现我们自己在心理上处在这样的状态中：期望所有C、从而还有B将原来是A。为理智的优势和实践的成功起见，我们能够想望它是如此，并尝试性地假定它是如此，不管在期望可能的或有希望的成功时我们借助本能还是借助审慎的方法论规定的方式。
第六节
完备的归纳与三段论一样不提供经验的拓广。通过把个别判断集中到类判断中，我们只不过使我们的知识更简明、只不过更扼要地表达了它。另一方面，不完备的归纳先于知识的拓广，但是由此包含错误的危险，从一开始就注定要受到检验、矫正甚或拒斥。我们比较容易得到的一般判断，绝大多数都是通过不完备的归纳获得的，通过完备的归纳获得的极少。用这种方式形成一般判断不是片刻的事情，也不是仅仅发生在单独的个人身上。所有当代人，所有阶层，事实上整整几代人，都协同起来强固或矫正这样的归纳。经验在空间和时间中传播得越广泛，对归纳的控制也就变得越敏锐、越综合。我们可以回忆一下世界史中的重大事件：十字军东侵、航海大发现、加强的国际交流、投术的发展以及这导致观点和见解变化的方式。抵制矫正时间最长的归纳是延伸到主观领域里的错误的归纳，在此处检验是困难的或不可能的。我们可能记得彗星作为灾祸预兆的观点、占星术、相信女巫、唯灵论以及其他形式的正式的和私人的信仰和迷信。除了用经验直接检验归纳外，还有并非不怎么重要的各种间接的检验：归纳满足归纳，它们或即时地或非即时地通过导出的结论证明自己相容还是不相容。例如，在非决定论的涵义上，自由意志如何适合于统计学的结果呢？包含在保险公司死亡数表中的归纳与包含在“凡人皆有死”的命题中的归纳，在价值上是多么截然不同啊。
第七节
三段论的大前提可以形形色色的方式得到，恰如归纳所依据的个别判断一样。这些前提本身可以是归纳的结果，或者是直接的发现，或者甚至是演绎的结果。在希腊的几何学家可能由以开始的命题，将无疑是直接归纳的结果。因此，情况似乎是，“直线是两点之间最短的距离”之命题，是直接从观察拉紧的绳子中获得的。对于阿基米德来说，它依然是基本的原理。然而，我们同样可以从这样的命题开始：它难以用经验精密地检验，但是它的结果处处与经验一致。牛顿力学正是从这样的命题开始的，实际上应该称其为假没。
第八节
在推导的数学命题中，例如在几何学中，完备的归纳常常起着中介的作用。在欧几里得的与圆心角和周缘角有关的定理的证明中，三个案例凸现出来，推导在其中是不同地进行的。只是在证明命题在所有三个案例中成立后，他才一般地宣布它。此外，在这里有心照不宣的归纳，或者至少有未明确提及的归纳。比如，如果我们特地考虑案例之一，那么我们观察到，周缘角的顶点能够在某些限度内移动而不改变所应用的推理模式。最后，我们可以认为中心角是连续地贯穿所有值而不必改变我们的进路。简而言之，我们正在使用完备的归纳作为证明的工具。与其他的推导类似的是，人们总是必须对可能的案例、被经验和实验促进的过程获取完备的概览。当一般地认为来自特例的推导是可靠的时，在这方面的缺陷间或导致严重的数学错误。在把数学应用于物理学、化学或其他科学的地方，自动地包含着这种心照不宣的归纳，因为在数学中，由于它的对象的均一性和连续性，相对容易达到所有可能案例的完备概览；而且，我们在这里涉及的是我们自己熟悉的、常常在实践中检验的有序活动。
第九节
为了启发的目的，甚至在数学中也往往使用不完备的归纳。沃利斯（Wallis）利用它推导按照某一规律形成的级数的一般项与和。这些研究可以看作是卡瓦列里（Cavalieri）关于求面积和求体积的思想的算术化，也就是积分运算的开端。雅科布·伯努利接着发现了把这样的不完备的归纳转变为完备的归纳的漂亮方法。他首先借助十分简单的例子说明它。设我们必须形成包含零在内的直到n的自然整数之和，简单的归纳产生1/2n（n＋1）。为了表明这一般地对任何n均为真，我们添加一个额外的整数，并发现
1/2 n（n＋1）＋（n＋1）＝1/2（n＋1）（n＋2）
因此，相同的求和公式依然是可靠的，因为这个过程能够无限地反复，所以该公式一般地是可靠的。
第十节
这个例子是如此简单、直观和明白，以致它几乎不需要特别证明。接着，伯努利提及，这一程序能够用来估计平方和、三角形数等等。关于前者，例如我们通过归纳得到
这借助伯努利程序原来对 n＋1也成立，因此对任何n成立。该程序的更一般的图式是这样的：若f（n）是级数的一般项，F（n）是通过归纳得到的和，则F（n）＋f（n＋1）＝F（n＋1），求和公式一般是可靠的。
第十一节
雅可布·伯努利的方法对于探究自然来说也是重要的，因为它告诉我们，在B概念的成员C1，C2，C3……上通过不完备的归纳发现的性质A，能够把它归于B，只要辨认出它与B约束在一起，因而独立于B的成员的变化。
第十二节
因此，三段论和归纳都不能创造新知识，而只不过保证在我们的各种洞察之间没有矛盾，清楚地表明这些洞察如何关联在一起，并把我们的注意力引向某个特定洞察的不同方面，从而教给我们在不同的形式中辨认它。于是，显而易见，探究者获取知识的真正源泉必然处在其他地方。有鉴于此，下述情况是相当不可思议的：涉及探究方法的大多数探究者仍然认为归纳是主要的探究方法，仿佛自然科学无所事事，只不过是直接分类敞开摆在周围的个别事实而已。并非我们希望否认也是重要的东西，而是它并未穷竭探究者的任务：他尤其必须发现相关的特征及其关联，这比分类已经知道的东西更为艰难。对自然科学来说，“归纳科学”的名称因此是没有正当根据的。
第十三节
只是从早已过时的传统和还在坚持的习俗来看，该名称才是可以理解的。考察一下培根的关于假定的赞成或不赞成的例子的一览表，或者穆勒的一致和差异的纲要，我们看到，比较能够使我们意识到迄今未注意的概念，即使它并非显著得足以吸引即时的注意力。如果我们专注于相互依赖的要素，同时把注意力从较少重要的要素分散开，这就是所谓的抽象。于是，我们产生了可以导致发现的激励，但是，如果注意力被误导，也可以产生导致错误的刺激。这种操作与归纳毫不相干。然而，如果我们考虑到，观察或枚举许多一致的例子而不管某些特征的变异，比考察单一的案例更容易导致关于稳定特征的抽象观点，那么我们实际上想起了这一程序与归纳的相似。这也许是该名称如此长期幸存的原因。
第十四节
至于不同的科学方法论的阐释者关于应该把什么称为归纳的观点，在一般的应用和特殊的应用二者中存在着巨大的变化。对穆勒来说，归纳是在某些特征一致的基础上从特殊到特殊的推理。另一方面，对惠威尔而言，只有产生比在特例中包含更多新的一般的命题的推理才是归纳推理。与穆勒相对照，他将不容许借助类比从特殊到特殊的推理——例如动物也可以引出的推理，例如指导日常实践活动的推理——是归纳推理。在这里，似乎很难画出泾渭分明的心理分界线。在穆勒看来，开普勒关于火星椭圆运动的发现是纯粹的记述，这一成就在某种程度像绕海岛航行，以便决定它的形状一样；而惠威尔则认为，该发现正像牛顿的发现一样是归纳，并补充说，不同的理论可以视为相同事实的不同记述：在归纳中本质的东西是新概念的引入，例如开普勒的椭圆、笛卡儿的漩涡、牛顿的引力反平方定律。按照阿佩尔特的观点，开普勒的发现建立在真正的归纳的基础上，因为它相当于找到火星处在一个椭圆上的所有位置。不过，阿佩尔特把伽利略的落体定律看作是演绎的结果。对我来说，我能够在开普勒和伽利略的发现之间看见的唯一差别是，前者只是在观察之后猜测到有用的概念，而后者在观察之前就猜测到了。惠威尔认为，在归纳中存在某种神秘的东西，某种难以翻译为言语的东西，我们将返回这一点。从这些观点的差异中，我们至少得知，在那里或多或少缺乏术语的精确性。由于术语归纳在形式逻辑中获得了固定的意义，在自然科学的方法论中用来表示像刚才勾画的许多大相径庭的活动，因此，我们今后将不再使用该名称。
第十五节
现在让我们尝试分析一下探究的程序，而不让任何命名迷惑我们。逻辑没有提供新知识。因此，知识是从那里来的呢？总是来自观察，这能够是通过感官的“外部的”观察或通过观念的“内部的”观察。依赖协调我们的注意力的方式，它将时而专注于要素的一种关联，时而专注于要素的另一种关联，从而把它在概念中固定下来：如果这原来是站得住脚的，并对于其他发现经受检验，那么它就构成知识；若不是如此，则构成错误。因而，所有知识的基础是直觉，直觉可能与感性知觉和直观观念二者有关，以及与潜在地是直观的和概念的东西有关。逻辑知识仅仅是特例，它纯粹关心的是发现一致或矛盾，除非存在感性知觉或来自先前确定的发现的观念，否则它不起什么作用。不管把我们导向在感性知觉或观念中的新事实的发现，是纯粹的物理机遇或心理机遇，还是通过思想实验有计划的经验的扩展，然而只有这种发现，才产生新知识。一旦激起我们对新发现的兴趣——因为它在生物学上可能直接或间接地是重要的，或者因为它与其他发生一致或不一致——那么唯有联想的心理机制将使我们的注意力集中在这一发现中关联的两个或几个要素：存在着不自觉的抽象和忽略表面上不重要的要素，从而把代表许多相似特例的一般案例的特征赋予个别案例。如果几个相似的发现积累起来，这种心理境况更容易产生，但是，如果我们兴趣盎然，一个发现可能足矣。不过，有经验的探究者可以做出尝试性的抽象，审慎而充分地意识到包含的大胆，在展望可能的成功中忽略次要条件。接着，比较普遍的思想必须经受观察和实验的检验，以便变得能站住脚。还有，在尝试性地把特例的观念扩展为较一般的思想时，我们在暂定的完成的过程中有某一任意性的范围。就扩展的部分而言，一个或几个特例就可以提供出发点。因而，显而易见的是，对开普勒来说火星在闭合的卵形轨道上运动，对伽利略来说落体的速度和距离增加，对牛顿来说热物体的环境越冷，它冷却得越快；不过，其余的必须通过他们自己的努力，从他们的思想贮存中添加。因此，对火星尝试性地假定的椭圆是开普勒本人的建构，就伽利略的假定即落体的速率正比于时间而言，就牛顿的假定即冷却的速率正比于温度差而言，情况也一样。与他们本人的概念活动有关的经验，尤其是关于排序、计算和建构的经验，必定帮助探究者用概念系统阐明他们的普遍思想；仅有观察不能做到这一点。我们就假设、类比和思想实验所说的一切，在这里都可以适用。这样形成的思想是否足够准确地描述事实，现在能够详细检验了。
第十六节
仅仅准确地查明事实和在思想中描述它们，就需要比通常设想的要多的首创精神。为了能够宣称一个要素依赖于另一个要素以及如何（按照什么函数关系）依赖，探究者必须超越直接观察到的东西，贡献出他自己的一些成分。认为人们能够通过把它称为记述而贬低这一点，也许是一个错误。
第十七节
事实的发现在多大程度上使探究者满意，完全取决于他的观点和视野以及他的时代的科学水平。笛卡儿满足于把漩涡作为描述行星运动的工具。对开普勒而言，他是从万物有灵论的观念开始的，他最终发现的定律是巨大的简化。牛顿首先从伽利略和惠更斯的力学中了解许多相对简单的成果，这种力学教给他如何决定物体在空间和时间中的任何一点运动的条件。对他来说，在每一个这样的点，在速度和方向上发生变化的运动从表面上看必定是某种十分复杂的事情。在他极力主张超越观察到的东西完成这些事业时，他猜想在这里可能存在较简单的、也许已知的、但却忽略了的事实。实践的力学告诉我们如何使绳子末端的物体旋转，而理论告诉我们如何把这个过程减化成最简单的事实。这是牛顿贡献的附带的经验。他遵循柏拉图的教诲，采取了相反的路线，设想问题被解决了，认为行星运动恰恰是这样的旋转。他通过分析发现，绳子张力的类型会满足问题的条件。较简单的新事实的发现存在于这最后一步，关于它的知识能够代替开普勒的所有记述。可是，注意到这个事实本身只不过是记述某一真实的东西，尽管它要基本和普遍得多。
第十八节
对于其他领域而言情况也相似。光的直线传播、反射和折射以与开普勒定律相同的方式被注意到。惠更斯受到他的关于声波和水波的经验的支持，尝试性地把这些复杂的和孤立的事实化归为几个波动的事实，这一步类似于牛顿的步骤。牛顿对于声波和水波的调研在十八世纪延续下来，最终能够使杨和菲涅耳仿照惠更斯的模型把握光的周期性和偏振。在这里像在其他地方一样，通过综合在一个领域获得的发现能够被用来分析另一个领域。柏拉图的方法在这方面总是有用的，尽管它们在此处是不很保险的指导，与在比较熟悉的几何学领域相比也不大容易应用。通过逐渐地引用比以往任何时候都广泛的经验领域，以便说明目前正在调研的一个领域，我们发现，所有领域最终变得相关，进入相互阐明的关系，这一点甚至现在在物理学和化学中是十分明显的。
第十九节
如果人们借助尝试性的分析程序发现了根本的观念，该观念为较简单、较容易和较完备的事实或事实集合的观点提供了前景，那么从这一基本观念演绎的这些事实以及它们的所有细节都可以用来检验该观念的价值。如果人们能够证明——这只有在最罕见的案例中才可能——这个观念是事实能够从中演绎出来的唯一可能的假定，那么这便相当于充分证明了该分析是正确的。惠威尔指明这样地与他称为归纳的东西结合在一起并相互支持的演绎的必要性。作为演绎出发点的普遍命题反过来是归纳程序的结果；但是，演绎是有条理地一步一步行进的，而归纳则跳跃地发生，处于方法所及的范围之外，因而，归纳的结果以后必须用演绎来辩护。
第二十节
藉以获得新洞察的心理操作从这一切中浮现出来，通常用不恰当的名字“归纳”称呼的这种心理操作不是一个简单的过程，而是相当复杂的过程。尤其是，它不是逻辑过程，尽管逻辑过程可以作为辅助的中间环节出现。抽象和幻想活动在发现新知识中起主要作用。惠威尔强调过，方法在这里不会有所作为的事实清楚地表明，他认为是神秘的特征依附于所谓的“归纳的”发现。探究者力图厘清思想，但是起初，他既不知道它，也不了解能够保险地在其中找到它的途径。然而，当通向它的目标或道路变得显现出来时，他为他的发现惊奇不已，就像某个人在森林中迷路，突然走出丛林，获得自由的前景，看见一切都是清楚地呈现在他面前一样。直到发现原理之后，方法才能以有序化和调整的资格介入。
第二十一节
如果人们受对事实之间的关联的兴趣指导，并听任注意力的焦点反复在事实上漫游，而不管事实呈现在感性知觉中还是仅仅固定在观念中，抑或在思想实验中变化和结果，那么在幸运的时刻，人们也许有可能窥见推进探究的简化的思想。这就是人们一般地能够说的一切。在这里，通过仔细分析成功思考的例子，通过从目的和手段都已知的问题开始、然后转向这个或那个较少截然分明地界定的问题，人们将获悉许多东西。由于在此处没有合适的方法指导我们接近科学发现，成功的发现好像要借助艺术家的成就，这一点对约翰内斯·米勒、李比希等人来说是完全了解的。