“接下来，再给你出道题。”米尔嘉说。
问题 3-3
将以下数列的通项 cn 用 n 来表示。
n012345...cn11...
“这个数列是什么？”我问道。
“嗯？你还不知道啊？”在说这话时，她带着一种轻视嘲讽的语气。她直白地表露出，她实在是太吃惊了。她那种口气就仿佛在说：“你连自己的右手上有 5 个手指头都不知道吗？”
看到她这么吃惊，我感到很丢脸，但我也顾不上这些了，忍着将话题重新拉回到数学上。
“1, , 这 3 项循环出现——这样回答是不是很没意思啊？”我注视着米尔嘉的面部表情。
“确实是没有意思。你没能解开谜底，没看透其背后的结构，根本就没有抓住问题的本质。”她泼了我一盆冷水。
“那么，这个数列的本质到底是什么呀？”我问道。
“本质当然就是看 1, , 这 3 项到底有什么规律喽。但你并没有发现。这样，我们用观察数列的常用方法来做做看。”米尔嘉说。
“观察数列的常用方法……先来看看阶差数列吧。”我在练习本上算起来。
对于数列 ，我们可以考虑以下数列 。
按照 的顺序依次计算，求出 。
n012345...dn...嗯，我现在一点都不知道呢。
“怎么样？”米尔嘉穷追不舍。如果马上就能求出解，胜利的曙光就在眼前的话，我会急于往下算。但我现在还正值摸索阶段，不能着急不能慌张。
“我还是不明白。”我老老实实地回答。
“那是因为你观察数列时只会运用阶差数列这个常用方法吧。”她笑着对我说。
“要是不求两项的差，剩下的只有求两项的比这个方法了吧？”我问。
“那你快做啊。”
好吧好吧……对于 这个数列，因为 cn 不可能为 0，所以不用担心分母为 0 时分式无意义的情况。计算后得……
n012345...en...“啊 !”整个 数列全都是 这一项，我不禁大吃一惊。
“有什么好吃惊的？”她问。
“你看，取了前后两个数的比后得到的商是相同的。”
“这倒是。数列 是首项 c0 为 1、公比为 的等比数列。其实就是 这 3 项中任意一项的 3 次方都是 1。也就是说，这 3 项都满足一元三次方程式 x3 = 1。”
“满足方程 x3 = 1 啊？”
“是啊。x3 = 1 是个一元三次方程，满足此方程的复数有 3 个。你知道怎么解这个方程吗？”米尔嘉问我。
“嗯，我想我应该会。因为我知道 x = 1 是这个方程的一个解，然后提取（x - 1）这个公因式就可以了。”
“接着呢？”米尔嘉问。
“接下来要解 x2 + x +1 = 0 这个方程式。一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求解公式为 ，使用这个求解公式就可以了。”我边说边计算着。
听了我的解释，米尔嘉点了点头。
“是啊。那现在先将 定义为 ω。”
“ ω2 和 相等。”
“1 连续和几个 ω 相乘后，就形成以下数列。”
“因为 ω3 = 1，所以这个数列又可以写成以下形式。”
“也就是说， 这个数列就恰巧是数列 ，那么将 这 3 个数在复数平面上表示看看。快快快 !”米尔嘉好像很兴奋。
“哇 ! 这图是不是正三角形啊？”我问。
“从数列的周期性联想到圆是很自然的，根据循环重复的道理求出图形是圆也是很自然的。那些把这组数列看成是实数轴上的数字的人会认为这些数字只是在‘振动’，但如果能把这组数列看成是复数平面上的点的话，就会发现这些数字是在‘旋转’，进而能够发现这个图形的结构。对吧？”她问。
解答 3-3
这里令
米尔嘉的脸颊有点微微泛红，舌头也开始打结：“到现在为止，我们讨论了 4 等分点和正方形、3 等分点和正三角形。如果将其一般化，也就是关于 n 等分点和正 n 边形的问题。这就和棣莫弗定理息息相关了。”
棣莫弗定理
“棣莫弗定理的主要内容就是‘复数 cosθ + i sinθ 的 n 次方是 cos θ + i sin nθ’。从图形的角度来说，棣莫弗定理主要说的就是‘单位圆上的角 θ 反复旋转 n 次后其实就是转了 nθ’。透过数学公式，我们应该能够看到单位圆上点的旋转。”米尔嘉看着我，用手指画了个圆。
“在棣莫弗定理中，如果 n = 2，立刻就能推导出倍角公式。”
“接下来只需将两边的实部和虚部分别画上等号即可。”米尔嘉继续说。
“好了，这就是倍角公式了。”米尔嘉说。
“你不是玩过 θ 在矩阵中的旋转变化吗？反正是玩，不如将旋转的点画成图形，当作三角函数看，或者再到复数数列里变化看看，这样更好玩吧 !”她说。
我完全败在了米尔嘉的手下，什么话都说不出来。
“你从 ω3 = 1 这一点就能看出这是单位圆的三等分点了吧；你也能看出 这个偏角、复数平面上的正三角形，以及由 ω 产生的三拍转一圈的旋转了吧；你还能看到 1, ω, ω2 这三个小人在复数平面中舞蹈了吧。”米尔嘉一口气说完。
“你看到 ω 跳的华尔兹了吗？”她嫣然一笑。