7.1.1 米尔嘉
那是高中二年级时的冬天。
放学后，我在图书室自己最喜欢的座位上坐着，正准备做计算题。这时，米尔嘉走过来问我：“这个问题你看过了吗？”她把一张纸放在我面前，两手撑着桌子站在那里。
“什么题呀？”我问。
“村木老师布置的题。”她答道。
问题 7-1
0 + 1 = (0 + 1)
如果有 1 个加号的话，只有 1 种加法组合(C1 = 1)。
如果有 2 个加号的话，有 2 种加法组合(C2 = 2)。
如果有 3 个加号的话，有 5 种加法组合(C5 = 5)。
那么 0 + 1 + 2 + 3 + ... + n = ?
也就是说，如果有 n 个加号的话，有几种加法组合呢(Cn = ?)呢?
“不知怎么的，我总觉得这个式子太长了，如果能直接点就好了。”我抬起头说。
“嗯……你是说内容要直接，式子要按照一定的格式来写，专业术语要先给出定义，用词不能模棱两可，要严肃，要……对吧？”
“嗯，正是如此。”我说。
“算了，先这样吧。刚才我已经算出推导公式了。”
“等下，米尔嘉，你是什么时候拿到这道题的啊？”我问道。
“是中午我去老师办公室的时候。你现在就在这里从零开始思考吧，我到那边去想，再见。”米尔嘉朝我挥挥手，优雅地移到窗边的座位上。我的目光紧紧地追随着米尔嘉。透过窗户，可以看到凋零的梧桐树，梧桐树的上面是广阔的冬季的蓝天。虽然是个晴天，但是外面看上去还是很冷。
我是高中二年级的学生，米尔嘉和我同一个年级。我们有时会让数学老师村木给我们出题。村木老师很奇怪，但他却很喜欢我们。
米尔嘉擅长数学，我的数学虽然不算差，但是比不上米尔嘉。当我在图书室里沉浸在数学公式的展开时，米尔嘉有时候也会来，拿起自动铅笔，自说自话地在我的笔记本上边写边开始给我讲课。虽然听她讲课的时间也不是不快乐……
我喜欢听米尔嘉热情地说话，也喜欢远远地观望米尔嘉闭着眼睛思考的样子，她那金边眼镜和她很相配，脸的轮廓线条很清晰……
不，与其想这些还不如先做题。她已经在我对面开始思考了，她刚才说已经算到推导公式了是吗？我都不记得了。米尔嘉一定很快就能算出来吧。
我来整理一下要解的题目吧。
有 0 + 1, 0 + 1 + 2, 0 + 1 + 2 + 3, ... 这样的式子，给它们加上括号进行加法组合计算。题目上写着：如果有 1 个加号的话，只有 1 种加法组合；如果有 2 个加号的话，有 2 种加法组合；如果有 3 个加号的话，就有 5 种加法组合。这是在计算有几种加括号的方法的问题。我们要求的是 0 + 1 + 2 + 3 + ... + n 这个式子有几种添加括号的方法。
n 表示什么呢？ 0 + 1 + 2 + 3 + ... + n 这个式子是从 0 开始计算的，所有加数的个数为 n + 1。我们可以把 n 考虑成 0 + 1 + 2 + 3 + ... + n 这个式子中“加号的个数”。
添加加号时有什么规律可循吗？加号两边的式子称为项，两边各有一项。也就是说，诸如 (0 + 1) 或者 (0 + (1 + 2)) 这样的两项之和的结构（以及其加法组合）是可以的，但是诸如 (0 + 1 + 2) 这样的三项之和的结构则不在考虑范围内。
我们先来看具体例子。题目中给了 n 为 1，2，3 时的结果，那我们来看一下 n 为 4 时的情况。让我想想……哇，想不到组合还真多啊。
竟然一共有 14 种组合啊！也就是说“如果题中有 4 个加号的话，共有 14 种加法组合”。
在写这些式子的过程中，我也逐渐找到了规律。能找出规律就意味着离求出推导公式不远了。
接下来，我们将具体的例子进行一般化演变。在刚才的题目中，有 n 个加号时，有 Cn 种添加括号的方式。刚才计算的是加号有 4 个的情况，也就是说 C4 = 14。到现在为止，我们知道 C1 = 1, C2 = 2, C3 = 5, C4 = 14。啊，对了，我们还可以算上加号为 0 个时的情况，即 C0 = 1。 我们可以用表格表示。
n01234...Cn112 514...C5 一定会变得还要大吧。那么接下来一步就是“求出关于 Cn 的推导公式”，这才是真正要思考的问题。最终目标为“将 Cn 用含有 n 的有限项代数式来表示”。
那么，这就来求推导公式吧。我正准备计算时，有一个女孩从图书室门口快步走了进来。
是泰朵拉。
7.1.2 泰朵拉
“啊！学长您在啊。”泰朵拉走到了我的身边，很紧张地问我，“学长您已经开始学习了吗？我是不是来晚了？”
泰朵拉是高中一年级的学生，是我的学妹。她像小松鼠小狗小猫那样跟我很亲近，有时候会来问我数学题。她问的不只是她不明白的数学题，有时候还会向我倾诉一些她内心的烦恼。
“嗯，你急吗？”我问。
“不急不急，没关系，您忙您忙。我问题很少。”泰朵拉边朝我摆手边往后退了几步说，“打扰您了真不好意思，那我还是等您回去的时候再问您吧……今天放学之前您都在图书室吧？”
“是啊。我想我会计算到管理员催我回家。一起回家吗？”我问。
我朝窗边瞄了一眼，米尔嘉端坐在桌边，好像一直在盯着纸看。因为她背对着我，我看不到她的表情如何。她一动不动地坐着。
“好的，一定一定。那么我先走了。”泰朵拉脚跟靠拢，朝我小心翼翼地敬了个礼，然后向右转，她的动作很夸张，就这样径直走出了图书室，她在走出图书室的那一刻朝米尔嘉的方向瞟了一眼。
7.1.3 推导公式
好了，还是回到计算有几种添加括号的方式的推导公式上来吧。
从 0 加到 4，一共有 5 个数字。在这 5 个数字之间共有 4 个加号。仔细一想，因为现在要求的是有几种添加括号的方式，所以实际上是哪几个数字相加与题目没什么关系。
也就是说，我们将 ((0 + 1) + (2 + (3 + 4))) 这个式子用 ((A + A) + (A + (A + A))) 来代替也可以。
要求出表示各项间关系的推导公式，我们有必要清楚“添加括号”背后的结构，并找出其背后结构的规律性。这个式子有 4 个加号，我们把它整理成加号为 3 个以下时的情况看看。
我们用下面这种方法来理解。
嗯，好像能看出些什么了。我们来关注最后一个加号，这里所说的“最后一个加号”不是位置上最靠后的加号，而是最后一次进行加法运算的加号。以上式为例，左数第二个加号就是最后一个加号，将这个加号的位置按照从左到右的顺序挪动的话，就形成了排他性的网状分类。也就是说可以进行分类。当加号有 4 个时，可以归类为 4 种形式。我们把最后一个加号都用圆圈标记出来，如下所示。
（A+A+A+A）这个式子的括号还没有添加完，因为它包含了 3 项以上的和。但是，这样的式子还可以整理成加号个数更少的情况。嗯，这样一来就能求出推导公式了。
有 4 个加号时，也就是说 (A + A + A + A + A) 这个形式，可以进行以下分类。
分别与（A 模式）相对的（A + A + A + A 模式）分别与（A + A 模式）相对的（A + A + A 模式）分别与（A + A + A 模式）相对的（A + A 模式）分别与（A + A + A + A 模式）相对的（A 模式）
如果假设有 n 个加号时，有 Cn 种添加括号的方式的话，这里我们应该能求出关于 Cn 的推导公式。
“分别与……相对的”这个说法相当于“各种情况的乘积”。比如 n 为 4 的时候，我们用式子来表示 C4。C4 是以下 4 项的和。
总而言之，C4 可以写成以下形式。
据此可以写出一般形式。
这真是个漂亮的式子啊！然后再用 来表示，就更容易看清这个式子的结构了。
由此我们便可得出表示各项间关系的推导公式。
趁热打铁，这就来代入验算一下。
1, 1, 2, 5, 14，这几个数字都和例题中计算的个数吻合。
米尔嘉还说推导公式很快就能做出来呢！做到这步真是花了我不少时间。
“放学时间到了。”图书管理员瑞谷老师来催我了。瑞谷老师一直穿着紧身裙，戴着一副看上去像太阳镜那样的深色镜片的眼镜。平时她待在图书室里屋的管理员办公室，一到放学时间，她就会悄然无声地走到图书室中央，然后催大家回家。瑞谷老师就像个准时的闹钟。
啊。这么说来，米尔嘉去哪里了？
我环视了一周，米尔嘉已经不在图书室了。
Cn 的推导公式