9.6.1 泰朵拉的尝试
“学长，我有一个大发现，大发现！”泰朵拉兴奋地叫道。
还是在图书室，还是在放学后。在我正准备开始进行今天的计算的时候，活力少女泰朵拉匆匆忙忙地走了进来。
“什么呀？泰朵拉。”我问道。
最近连续几天都和泰朵拉在一起讨论，我渐渐没有了自己的计算时间。当然，我也不是不想这样。
“嗯，那个，昨天我们不是将 sin x 进行了泰勒展开吗？我在自己思考的时候，突然发现了一点。随着 x 的值的变化，sin x 会好几次都变成 0 呢。比如说……”泰朵拉一边说一边拿出自己的笔记本，朝我摊开。
像这样，当 n=1, 2, 3, ... 的时候，sin nπ都会变为 0。”
“是啊。”虽然我这么回答，但是也有点焦急起来。这不是很理所当然的吗？而且……
“对了，泰朵拉，你可忘了 n 小于 0 的情况哦。如果你想好好进行一般化的话，应该是这样的。”我说。
“啊啦啦，是……是啊。确实还有负数的情况。”泰朵拉说。
“那接下来就把 0 的情况也考虑一下。其实把 sin x 的图像画出来，然后考虑一下与 x 轴的交点就一箭双雕了。”我说。
“不知道怎么的，我一个人有点操之过急了。不好意思哦，学长这么忙，还来打扰您……”
可能是我的语气有些严肃，泰朵拉的热情一落千丈。她这个人不光是在高兴的时候才表露出来，在自己意志消沉的时候也是如此。我有点不好意思，继续说道：“关于昨天我们所说的那个话题，你想到些什么了吗？”
“嗯，想到了一些，但是也不是什么重要的东西啦。”泰朵拉一边看着我的脸色一边小心翼翼地说。
于是——
我——
泰朵拉接下来说的一句话，真的令我大吃一惊。
“我试着将 sin x 进行了因式分解。”
啊？
啊？
“你说将 sin x 进行因式分解？这究竟是什么意思呀？”我问道。
“嗯，那个……那个……我找到了很多满足方程 sin x = 0 的 x。也就是说，这样的 x 是
sin x = 0
这个方程式的解啊。”
泰朵拉不等我说话，又继续说道：“今天米尔嘉不是说了嘛 ——求方程式的解与因式分解有关。”
是归是，但是说到将 sin x 进行“因式分解”，我还是不太理解泰朵拉的意思。
我默不作声，泰朵拉朝着我继续说道：“正如刚才学长所说的那样，如果解是 的话，那么就可以进行这样的因式分解了。”
我还是一下子没反应过来。嗯？这样就好了？——确实，把 x = nπ 代入后式子变为了 0。
“不对，泰朵拉，这还是有点奇怪啊。而且，sin x 有一个有名的极限公式。”我说。
“也就是说，当 x 趋向于 0 的时候， 应该趋向于 1。当 x 和 0 非常接近的时候， 也和 1 非常接近。但是，泰朵拉你的式子中，如果假设 x 不等于 0，那么两边同时除以 x 后可以得到这样的式子。”
“当 x 趋向于 0 的时候，虽然这个式子左边的极限值为 1，但是右边式子的极限值并不为 1。很明显，有点奇怪哦。”我说。
9.6.2 要到达哪里
“泰朵拉，你也在思考巴塞尔问题吗？”
“哇！”
“呀！”
从我们身后突然传来一个声音，把我们都吓了一跳。不知何时米尔嘉已经站到了我们身后，我居然一点都没有发现。
泰朵拉吓得把笔记本和铅笔盒都弄掉在了地上，自动铅笔、橡皮、尺子噼里啪啦地洒了一地。
“米尔嘉，不是不是，泰朵拉考虑的不是巴塞尔问题，她考虑的是将 sin x 进行因式分解。”我说。
“学长，那个……巴塞尔问题是什么问题？”泰朵拉边捡自动铅笔边问我。
我给泰朵拉看了看卡片，向她解释什么是巴塞尔问题。这是求正整数的 2 次方的倒数之和的问题，就我的卡片来说就是求 的值，就米尔嘉的卡片来说就是求 ζ(2) 的值。当然，说到求值就是在“收敛”的前提下才能求的。
泰朵拉听了我的解释，露出很惊讶的表情。也确实是如此，听了一大堆自己没有考虑过的问题，不一头雾水才怪呢。
在我说的时候，米尔嘉把泰朵拉掉到桌子底下的笔记本捡了起来，一页页翻开看。
“嗯。”米尔嘉说。
“啊，这个……”泰朵拉想把笔记本拿回来，但是她看了看米尔嘉的眼神，又把手缩了回去。
“你……”米尔嘉对我说，她的目光没有离开笔记本，“你教过泰朵拉 sin x 的泰勒展开吗？嗯，原来如此，这也是村木老师的行动计划啊！对了，这里为什么写着‘一生都不会忘记’呢？”
“不……不好意思！”泰朵拉突然抢回自己的笔记本。
“嗯。”米尔嘉突然闭上眼睛，像指挥家一样挥动起自己的手指。她做这个动作的时候，周围人都沉默不语。大家就这样默默地看着她。米尔嘉思考的样子有股吸引我们的力量。
米尔嘉睁开眼，说：“从 sin x 的泰勒展开开始。”
她这么说着，拿过我手中的自动铅笔和笔记本，开始写起了数学公式。
sin x 的泰勒展开
“在这里，假设 ，两边同时除以 x，得到下面的式子。先说明这是把 sin x 用‘和’来表示。”
假设 ，两边同时除以 x
“但是，泰朵拉想到了如下的方程式。”
sin x = 0
“我们把这个方程式的解表示成下面这样。”米尔嘉继续说道。
“使用这个解对 sin x 进行‘因式分解’，泰朵拉是这样想的，对吧？”
米尔嘉突然用一种很独特的上扬语调问道，泰朵拉点了点头。她怀里还抱着刚才从米尔嘉那里抢来的笔记本。那本写有“一生都不会忘记”的笔记本。
“但是，我进展得不顺利。当 x 趋向于 0 的时候， 的极限应该趋向于 1，但是我所做的因式分解却变不成这个形式……”泰朵拉说道。
“如果是这样的话……”米尔嘉的脸上又浮现出一种调皮的样子。
她继续说：“如果是这样的话，将 sin x 因式分解为这种形式怎么样呢？”
我和泰朵拉面面相觑，思考起了米尔嘉所写的因式分解的式子。泰朵拉迅速打开怀里抱着的笔记本，开始计算。
“嗯……确实是成立的呢。当 x 等于 0 的时候，全都变成了 0，x 是 nπ的时候也都变成了 0，这是因为在某个地方有 这个因式。所以当 的时候，sin x 是等于 0 的。”泰朵拉说。
我听了她的话开口说道：“而且，如果像下面这样表示 的话，当 x 趋向于 0 的时候， 也应该是趋向于 1 的。”
我在泰朵拉的笔记本上这样写道。
“泰朵拉。”传来了米尔嘉温柔而又有力的声音。
“泰朵拉，现在把他写的式子的右侧变形得更简洁一点看看。”米尔嘉说。
“变得更简洁一点是吗？和与差的积是平方差吧。因为 ……”泰朵拉看了我一眼，这样写道。
从这里开始该向哪里前进呢？面对好像已经看穿一切的米尔嘉，不知道怎么的，我变得焦躁不安起来。米尔嘉到底知道多少呢？为什么她提起了巴塞尔问题呢？村木老师的行动计划到底又是指什么呢？尽是些我不明白的事情。但是，有种预感告诉我，会蹦出一些很伟大的东西。
米尔嘉转过身对我说：“现在，泰朵拉用‘积的形式’表示了 ，这是因为因式分解是将式子用乘积的形式来表示。另外，你写的泰勒展开是把相同的 用和的形式来表示。那么……”
米尔嘉说到这里，停顿了一下，吸了一口气又继续说道：“这里，我们把泰朵拉写的‘积的形式’和你写的‘和的形式’画上等号看看。”
写到这里，米尔嘉突然把脸凑向正聚精会神地盯着式子看的泰朵拉，说：“你快发现了吧，泰朵拉。”
泰朵拉的脸“唰”的一下涨得通红，边退后边说：“什……什么？”
于是，米尔嘉在我们俩面前摊开双手，轻声说道：“比较 x2 的系数。”
我看了看式子。
比较系数？
瞬间开始计算。
比较系数！
我屏住了呼吸。
不会吧。
太厉害了！这太厉害了。
我看向米尔嘉。
米尔嘉正看着泰朵拉。
“咦？这是怎么回事啊？咦？”
——她还愣在那里，还没有发现。
“左边的 x2 的系数是什么呀？泰朵拉你明白了吗？”米尔嘉说。
“这个，这个是无限个的积吧。”泰朵拉说。
“那实际展开看看吧，泰朵拉。现在我们把下面的式子展开看看。”米尔嘉说。
“但是，有 π 之类的数字在，乱七八糟的，所以先定义
这样的话，就可以形成以下无限项积的形式了。”米尔嘉说。
“将这个式子按从左至右的顺序展开。”
“咦？怎么看上去有规律啊。”看着米尔嘉的展开，泰朵拉说。
“其实这就是早上我所说的解与系数之间的关系噢。x2 的系数的规律性你明白了吧。”米尔嘉说。
从刚才开始，米尔嘉就只和泰朵拉说话。公式展开的速度也比往常要慢。她大概是为了让泰朵拉更容易理解吧。
“嗯，我明白了，x2 的系数是 a + b + c + d + ... 吧。”泰朵拉说。
“是啊。这个无限项积的各因式里 x2 的系数 (a, b, c, d, ... ) 的无限项和 (a + b + c + d + ... ) 就是展开后的 x2 的系数。那么，我们再回到刚才‘因式分解’的式子。”米尔嘉说。
米尔嘉又平静地继续说道：“要求等式左边展开时‘x2 的系数’的话，只要求出左边各因式的‘x2 的系数和’就可以了。a + b + c + d + ... 也就是 。另外，等式右边 的‘x2 的系数’一下子就能得知。既然都已经考虑到这一步了，我们就来比较一下两边的 x2 的系数。以下等式是成立的。”
泰朵拉确认了一遍米尔嘉所写的等式，说：“把 x2 的系数提取出来……嗯，是这样的。”
“你还没有发现吗？泰朵拉。”米尔嘉说。
“什么，什么呀？”泰朵拉眨着大眼睛说。
米尔嘉笑了笑，露出一副“不用着急，没关系”的表情。
她对着笔记本，又继续向泰朵拉解释道：“整理式子后，可以得到这个。”
“等式两边同时乘以 π2……”
“啊！啊！”
泰朵拉大声叫道。这可是图书室啊，但是我很理解她要叫起来的那种心情。
“解出来了，解出来了。巴塞尔问题解出来啦！”泰朵拉看了看米尔嘉，又看了看我，兴奋地说道。
米尔嘉点点头，像在吟诗一样说道：“解出来了，巴塞尔问题解出来了，令 18 世纪数学家们烦恼的难题——巴塞尔问题解出来了。真是令人愉悦啊！”
米尔嘉又把式子重新写了一遍。
“当然，这样写也可以。”她又加了一笔。
“好了，这下我们的工作可以先告一段落了。”她竖起食指，歪了歪头，笑了起来。这真是最美好的笑容。
“真是……不知不觉中就……就解出来了！真神奇啊！”
泰朵拉的思绪还在混乱之中。
解答 9-2 （巴塞尔问题）
9.6.3 向无限挑战
“解出这个问题的人是莱昂哈德·欧拉，他是世界上第一个解出巴塞尔问题的人。那是在 1735 年，欧拉老师还只有 28 岁，在他结婚后的第二年……”米尔嘉说。
我们是跨越了两个半世纪以上的时光，来回味欧拉的解法啊。当时的欧拉和我们只相差十来岁……结婚后第二年？
“这下我们也能把这个问题解出来了吧？”泰朵拉问。
“是啊。欧拉老师对于巴塞尔问题的解法到现在还留有几种。这是其中的一种。我们把它作为一个谜来解答。”米尔嘉说。
“这个证明我证到一半的时候就不知道怎么办了，最后真是让我大吃一惊。”泰朵拉说，“不知不觉中巴塞尔问题就被解开了，我真的大吃一惊。因为 x = nπ 是 sin x = 0 的解，所以我还以为可以把 sin x 因式分解呢。当时还以为自己找到了什么伟大的发现呢。但是，我这种想法也就到那里为止了。米尔嘉给我看了其他因式分解的方式，在我捉摸不定的时候，通过比较 x2 的系数就把巴塞尔问题解答出来了。真是太厉害了！”泰朵拉说。
“而且，还有一点，”泰朵拉又接着说道，“当 和变为 的时候， 我也吃了一惊。为什么整数的 2 次方的倒数之和中会出现 π 呢？”
我们沉默了片刻，大家都在思考为什么无理数的圆周率会突然出现，我们都觉得有点不可思议。
“还有，为什么泰朵拉说的因式分解不可取呢？”我问道，“ 不正是方程 的解吗？为什么不可以呢？”
米尔嘉回答了我的疑问，她说：“虽然 nπ 是方程 的解，但是这个因式分解的式子过于冗长，还有一定的自由度。因为如果只有 x = nπ s这个先决条件的话，像这样整体扩大 C 倍都是可以的，所以没有遵循唯一分解定理。”
“噢，原来如此啊，米尔嘉。 这个先决条件不能光靠因式分解来表示啊。”我恍然大悟。
“是啊，如果是 n 次多项式的话，结合 n 次方的系数，可以调整常数倍的值。一般最高次的系数是确定的，然后就可以根据最高次的系数来调整这个式子的规模了。但是，如果是无限次多项式的话，就不能按照最高次的系数来量身定做了。因为我们不知道 的系数究竟是多少。这样一来，建立起（x - nπ）后就不再调整系数了，求出因式 的乘积才是解决问题的关键。在开始进行无限项计算之前，我们先调整式子的规模，这种方法比较有效。”
米尔嘉用手指推了推眼镜继续说道：“但是，说起严密的理论，刚才的论述方式还不够严密。为什么这么说呢？因为在求 sin x = 0 这个方程式时，我们是根据图像与 x 轴的交点得到方程的解为 x = nπ，但是虚数解不会出现在与 x 轴的交点上，所以我们还没有讨论虚数解的可能性。实际上，除此方法之外，欧拉老师还留下了几种证明方法。但是利用 sin x 的幂级数展开来进行这个证明真是魅力无穷啊。正如与 x2 的系数相对比可以求出 ζ(2) 一样，与 x 正偶数 的系数对比也能求出 ζ（正偶数）。”
巴塞尔问题的解法
“这次，虽然最后进行整理的人是我，但是我本身就是知道欧拉老师的解法的。”
米尔嘉边说边站起身。
“虽说没有很顺利地解出，但是泰朵拉能想到利用方程式的解对 sin x 进行因式分解，这是非常了不起的。虽然还有不够严密的部分，但是在不够严密的地方也可以向无限发起挑战。”
说到这儿，米尔嘉把右手搭在坐在位子上的泰朵拉的头上。
她继续说：“在向我们的欧拉老师表示敬意的同时，也请为泰朵拉鼓掌。”米尔嘉率先拍起手来。我也站起身，拍起手来。
“米尔嘉……学长……这……这怎么可以。”泰朵拉用两手摸了摸涨得通红的脸蛋，眨巴着双眼。
这里是图书室。我们是高中生。这里要求保持安静。
但是，管它呢，介意什么呀！
我们向活力少女泰朵拉鼓掌！
可见，
当 n 为偶数时，
状如 的任何一个级数，
它的和都等于 πn 与一个有理数的积。
—— 欧拉 [25]