3.6.1 实例
我来说说质数指数记数法吧。
将自然数分解质因数，留意质因数的指数。比如说，将 n = 280 像下面这样分解质因数。
像 这种表示方法，就称为质数指数记数法。此外，我们把其中的数字 3, 0, 1, 1, 0, ... 称为成分。成分列是无穷数列，但最后以 0 无限持续下去，所以实际上是有穷数列。
30 指的是质因数中含有 0 个 3，也就是说不含有 3 这个数。因为 30 等于 1，所以可以理解为乘以了一个 1。
一般情况下，自然数 n 的质数指数记数法可以写成下面这种形式。
在这里 np 表示将自然数 n 分解质因数的时候，出现了多少个质数 p。例如，n = 280 时，n2 = 3, n3 = 0, n5 = 1, n7 = 1, n11 = 0, ... 。
因为分解质因数有唯一性，所以这个质数指数记数法和自然数是 一一 对应的关系。也就是说，任何自然数都可以用质数指数记数法来表示。相反地，质数指数记数法中也存在着与其对应的自然数。
那么，我给尤里你出个题。
◎ ◎ ◎
“那么，我给尤里你出个题。下面的质数指数记数法表示的是什么自然数？”米尔嘉在笔记本上写下了如下数字。
“我认为是……2。”尤里说。
“对，等于 2。”米尔嘉说。
尤里轻轻点了点头，感觉状态跟平常不太一样啊。
“那么，下一个问题。这个是？”米尔嘉说。
“3 吧。”尤里声音小到几乎听不见。
“没错。这就好。”米尔嘉说。
“这你明白吗？”米尔嘉继续问道。
“不知道。”尤里马上回道。
“不行。”米尔嘉眼神一下子变凶了，“你这回答速度就证明了你根本没想。再有恒心一点，尤里。”
米尔嘉严厉的语气让尤里僵住了。
“可是，人家就是不知道嘛。”尤里含含糊糊地说。
“尤里能答出来，只是怕说错而已。”米尔嘉一下子把脸凑到尤里面前，“因为害怕，所以就想‘与其说错，不如干脆说不知道好了’，对吧？”
“……”尤里无言以对。
“胆小鬼。”
“是 27 ！”尤里半带哭腔地答道。
“错了。”米尔嘉立刻说道，“最后不是加法。”
“啊，对啊。是乘法。是 50。”尤里一脸平静，像没发生过任何事般答道。
“对。这样就对了。”
“米尔嘉，人家明白了。质数指数记数法。”
“是吗？那么，这个呢？”米尔嘉又问道。
“不知道。”尤里说。
“尤里。”米尔嘉声音中带着几分威严。
“0 ？”尤里说。
“不对。你怎么算的？”
“因为全部都是 0，乘起来就是 0。”尤里说。
“你怎么算的？”米尔嘉又重复了一遍。
“都说了，全部……啊，这样啊。，所以答案是 1。”
“好的。”
“尤里，答得不错哦。”
米尔嘉露出了笑容，那笑容温柔得仿佛能包容一切。
3.6.2 节奏加快
米尔嘉喝了一口茶之后，像节拍器打节奏一样挥动手指，非常有节
奏地问尤里：“质数指数记数法 中，其中一个成分为 1，剩下的成分都为 0 的数字 n，我们管它叫什么好呢？”
“质数？”尤里回答。
“好。那么，所有成分都为偶数的数字，我们叫它什么？”
“我不知……等等，让我想想。”
尤里从米尔嘉手里接过了铅笔，在笔记本上写写画画，开始思考。
米尔嘉真是厉害啊……把尤里摸得很透。确实，尤里有时候会不假思索就回答“不知道”。
“我或许弄错了，难不成是……开平方后是自然数的数？”尤里说。
“打比方说，什么数呢？”米尔嘉说。
“4 啊，9 啊，16 啊……”
“好的。尤里你理解得很正确。你说的那个叫作平方数。”
“平方数。”尤里重复了一遍。
“顺便问一句，1 是平方数吧？”
“是。”
“即使用质数指数记数法表示 1，其所有的成分也是偶数？”
“因为 ，所以……对，确实是偶数！”
3.6.3 乘法运算
米尔嘉继续流畅地讲着。
“那么，接下来我们试着用质数指数记数法做一下乘法。用质数指数记数法来表现两个自然数 a 和 b，结果如下。”
“此时，两个自然数 a 和 b 的乘法运算表示如下。”
“这是指数幂运算法则中的一种。很有意思。乘法运算本应比加法运算更复杂，可在这里直接将成分相加就完事了。为什么呢？我们来列一下常用的位值制记数法。”
“能用简单的加法运算实现复杂的乘法运算，是因为质数指数记数法是在完成分解质因数这一麻烦的计算后进行的。质数指数记数法能明确数字的结构。”
米尔嘉看着尤里缠满绷带的脚说道。
“质数指数记数法，是能看到数字骨架结构的 X 光射线。”
3.6.4 最大公约数
“这次是最大公约数。”米尔嘉说，“用质数指数记数法可否表示两个自然数 a, b 的最大公约数呢？尤里，你想想看。”
“好的，我想想。”尤里开始思考……然后，她突然抬起头说，“米尔嘉，不写数学公式可以吗？用人家知道的数学公式写不出来……”
“把你想表达的东西说出来看看。”
“我想写‘两个数字中较小的那个’……”
“较小的那个？是比另一个数字小还是小于等于另一个数字？”
“嗯……啊！小于等于另一个数字！”
“如果有想写的东西，新定义一个函数就好。比如说，定义一个函数 min(x, y)。”
min(x, y) =（x 和 y 中小于等于另一个数字的数）
“定义？”
“就是确定必要的函数。”
“我自己也可以定义吗？”尤里问。
“当然。不定义就没法用了吧？”米尔嘉说，“这样定义也可以。”
“最大公约数已经可以用 min(x, y) 表示了。”尤里说。
“这样就行了，尤里。”米尔嘉点头。
“是这样啊，自己定义就好了啊……”尤里说。
这时，米尔嘉忽然压低了嗓音。
“那么，跟矢量一起，向着无限维空间出发吧。”
米尔嘉总把向量叫作矢量。
3.6.5 向着无限维空间出发
向着无限维空间出发吧。
将质数指数记数法的 看成无限维空间的矢量。因为是无限维空间，所以有无数个坐标轴。各坐标轴与质数对应，n2, n3, n5, n7, ... 为各个坐标的成分。
某个自然数对应此无限维空间里的一点。
把某个自然数分解质因数，就意味着找寻这个点在坐标轴上的投影。
那么，两个自然数“互质”，在几何上对应着什么呢？
如果两个数“互质”，那么它们的最大公约数等于 1。用质数指数记数法来表示 1 就是 。求最大公约数，就是求质数指数记数法中每个成分各自的 min(ap, bp)。所以“a 和 b 互质”意味着“关于所有质数 p，都存在 min(ap, bp) = 0。”
a 和 b“互质” 关于所有质数 p，都存在 min(ap, bp) = 0
换句话说，就是关于所有质数 p，ap 或 bp 中肯定有一方等于 0。这个也可以说成，两个矢量不会投影在同一坐标轴上。
总之，这就说明两个矢量“垂直”。基于这个结论，也有数学家把 a 和 b “互质”直接写成 a ⊥ b。因为 ⊥ 形象地表示了垂直的情况。
a 和 b“互质” a ⊥ b
“互质”是数论的表现形式，“垂直”则是几何的表现形式。
几何给了我们丰富多彩的表现形式。
◎ ◎ ◎
“几何给了我们丰富多彩的表现形式。”米尔嘉总结道。
尤里彻底心服口服，缄口不语。不，我也一样，已经不知道说什么好。