第二天。
放学后的教室，只剩下我和米尔嘉。
“你可爱的妹妹还好吧？”
米尔嘉轻轻用手指撩起垂散在额头前的刘海，问道。
“诶？啊，你说尤里？她挺好的，脚已经没事了。”
“你直接叫她名字啊。”
“嗯，因为从小就在一起。”
“尤里跟你长得很像嘛。”米尔嘉说。
“是吗……差不多吧，因为是亲戚嘛。”
“抗打击能力也很强。”
“她被你突然给了一句，犹如醍醐灌顶，很高兴。”
“这边也很像。”
米尔嘉伸出右手，触碰我的左耳。
“干，干什么？！”我吓了一跳，身子直往后缩。
“耳朵形状很像，你跟尤里。”
“是，是吗……”我怎么会记得耳朵的形状啊。
“拐点的位置。”
“啊？”
“尤里的耳朵，这里也有一个拐点。”
米尔嘉摸着我的耳朵。
“啊……？”
“怎么脸红了？”米尔嘉歪着头看我。
“我才没脸红呢！”
“你还能知道自己脸是什么颜色啊，真有才。”
“因为你眼镜里照出我的脸了。”
“喔……能看见啊。”
“能看见，你看……”我凑上去，盯着自己在米尔嘉眼镜里的影子，“这里……就能看见。”
“你的眼镜也把我照出来了。”米尔嘉说。
一句话让我意识到，我无意之间贴她太近了。
米尔嘉伸出双手，抓住我两只耳朵。
她就这么把我拉了过去……
“学长，大发现大发现！”活力四射的少女伴着她那惯有的大嗓门登场了。
米尔嘉迅速放开手，我险些向后跌倒。
泰朵拉看我们没在图书室，就过来找我们了。
“我 把‘两个数的平方差等于两数之和乘以两数之差’用在复数上，发现了不得了的事！能把质数因数分解！”
泰朵拉高高挥动着手里的笔记本。
“打个比方，我试着把 2 分解成 1 + 1 这样的形式，做了这样的变形。”
“也就是说，存在以下等式！”
2 = (1 + i)(1 - i)
“这样，就把质数 2 因数分解了！”
啊……我总算明白她想说什么了。
“我说，泰朵拉……计算本身是正确的，但是你把 2 分解成了复数的积，并不是整数的积。”
“但是……”泰朵拉把目光投到笔记本上。
“我知道你喜欢因数分解，但是这样根本说不过去啊！——啊，好疼！”
“不配当老师。”米尔嘉说。
“我又不是老师！”而且也不至于踹我啊。
“展开思 路。”米尔嘉无视了 我，继续说 道，“确实泰朵拉的等式 2 = (1 + i)(1 - i) 没把质数分解成整数的积的形 式，但是把 1 + i 和 1 - i 看成整数的一种又如何呢？事实上，当 a, b 为整数时，复数 a + b i 称为高斯整数。1 + i, 1 - i, 3 + 2i, -4 + 8i 这样的都是高斯整数。当然高斯整数也包括 a + b i 中 b = 0 的情况，也就是说高斯整数包含普通的整数。全体整数的集合写作 ，全体高斯整数的集合写作 ，这个表示方法，象征 i 缠绕着 。”
整数 和高斯整数
假设 a, b 为整数，则我们把 a + b i 称为高斯整数。
全体整数的集合
全体高斯整数的集合
当 ， 时，我们用 表示全体 a + b i 形式的数字集合。
“就像取整数时取数轴上分散的值一样，取高斯整数时也要取复平面上分散的值。整数是一维空间，高斯整数是二维空间。”
“米尔嘉，这是格点吧！”泰朵拉叫道。
“没错。高斯整数对应复平面上的格点。泰朵拉你刚刚用 2 = (1 + i) (1 - i) 表示的就是
在整数 Z 中是质数，
但在高斯整数 中不能成为质数的数字。
2 这个数字在整数 Z 里是质数，可是在高斯整数 里就不是质数，因为它能分解成积的形式。”
“就像是不应该坏掉的原子坏掉了吗……”我说。
“这比喻挺浪漫的嘛。”米尔嘉冷冷地回了我一句。
“我们的质数，在高斯整数 里，全部都能被因数分解呢……”
“谁说‘全部’的？”
“啊？不……不对吗？”泰朵拉慌了。
“不对。我们的整数 里包含两种质数。一种拿到高斯整数 里能分解成积的形式，可以说是‘可以粉碎的质数’。打比方说，把 2 拿到 的世界里进行分解，就得到 (1 + i)(1 - i)。而另一种质数即使拿到高斯整数 里，也不能分解成积的形式，这就是‘无法粉碎的质数’。比如 3，即使把它拿到 里也无法将其粉碎。3 即使在 里也还是质数。但是要注意一下，可以粉碎和无法粉碎不是正式的数学用语。±1 既不是合数也不是质数，它叫作单数。”
原来如此，“可以粉碎的质数”和“无法粉碎的质数”……米尔嘉这不 也用了个浪漫的比喻吗。
米尔嘉扫视了一下我们的表情，缓缓地转过去，面向黑板。我跟泰朵拉简直像中了邪一样跟着她。
米尔嘉拿过一支粉笔，静静地闭上眼……三秒钟。
“从现在开始，来把我们的质数一个个粉碎，试试能不能看穿有哪些情况属于‘无法粉碎的质数’。”
米尔嘉开始在黑板上写起了数学公式。
“还看不太出来。我们把质数列中‘无法粉碎的质数’圈出来。”
“这样也看不出来。我们干脆不用质数列，而是用全体整数列来看看。把从 2 到 17 的所有整数中‘无法粉碎的质数’画上圈，就能看出些端倪了。”
“再替换成表的形式，就能清楚地看出都有哪些情况了。”
“这之后会怎么样呢？我非常，非常想知道！”泰朵拉看着米尔嘉，激动得脸都泛起了红潮。
“确实很令人感兴趣。那么，我们按顺序来粉碎比 17 大的质数。”米尔嘉继续写下数学公式，粉笔敲击黑板的声音也高昂了许多。
“来，我们把这些结果做成表的形式。质数以外的数字我们用 . 来代替。”
“！”我吃了一惊。真令人惊讶。画圈的数字整齐地排列在右端。因为表的每行包含 4 个数字……所以右端的是“除以 4 后余数为 3 的质数”。
画圈的是“无法粉碎的质数”。也就是说，“可以粉碎的质数”，即能用 (a + b i)(a - b i) 的形式表示的质数除以 4 后，余数为 3，不是吗？除以 4 之后的余数有什么特别的含义吗？
问题5-3 （可以粉碎的质数）
质数 p 和整数 a, b 具有以下关系。证明 p 除以 4 余数不为 3。
p = (a + b i)(a - b i)
“要证明这个太简单了。”米尔嘉说。
把整数根据除以 4 的余数进行分类，整数除以 4 的余数无非就是 0, 1, 2, 3 中的一个。换言之，所有的整数都包含在下列式子之中（其中 q 为整数）。
将这些式子平方，再提出 4。
也就是说，用平方数除以 4 的余数只能是 0 或者 1。因此，两个平方数的和 a2 + b2 除以 4 的余数只能是 0 + 0 = 0、0 + 1 = 1 或者 1 + 1 = 2 中的一个。
因此，(a + b i)(a - b i) = a2 + b2 除以 4 的余数不会是 3。
解答5-3 （可以粉碎的质数）
1. 平方数 a2 除以 4 的余数不是 0 就是 1。
2. 平方数 b2 除以 4 的余数也不是 0 就是 1。
3. 两个平方数的和 a2 + b2 除以 4 的余数是 0, 1, 2 中的一个。
4. 因此，a2 + b2 = (a + b i)(a - b i) = p 除以 4 的余数不会是 3。
“综上所述，可以粉碎的质数除以 4 余数不是 3。实际上，若把 p 作为奇质数，则存在以下关系。
除以 4 余数为 1
这么说来，以前我还出过找不同的题呢。239, 251, 257, 263, 271, 283 这些数字中，不同的是 257。只有这个数是‘可以粉碎的质数’，因为只有 257 这个质数除以 4 余数为 1。”
“除以 4 余数为 3 的质数，不仅不能因数分解为 (a + b i)(a - b i) 的形式，也无法分解为其他任何形式。实际上，整数 中除以 4 余数为 3 的质数在 里也起着‘质数’的作用。”
我咀嚼着米尔嘉的话，感觉很不可思议。使用高斯整数 ，就能理解整数 中存在可以粉碎质数的情况。
但是，没想到研究能否粉碎竟然跟“除以 4 的余数”有关。用余数研究整数原来这么深奥啊。
除法和余数我们在小学就学了。原来不知不觉中我们从小学开始就拿着“求余数”这个强有力的工具了啊。想起小学时学除法的时候，我们一字一顿地跟着老师念：“除 —— 数 —— ”。像是被这段记忆牵引着一般，我想起了小学高年级时期的老师。老师看了我的笔记本，表扬我：“你写的数字真漂亮。”从那以后，我就喜欢在笔记本上写数学公式了。
泰朵拉开了口。
“米尔嘉，在复平面里计算，在 里计算，在 里计算……在这么多范围里计算数字，好有意思啊，而且还掺杂着图形……”
“考虑计算的结构是很有意思的。”米尔嘉回答，“为了将计算进一步思考归纳，我们有一个概念 —— 群。这也很有意思，不过今天我们该回去了，明天再讲群论。”
“好。”泰朵拉答道。
我重新想到。
人类真是无法预知未来。
我们以为明日也会往常如今日。
明天，也能继续听米尔嘉讲解。
在放学后，在老地方。
虽然我们本应知道“会发生什么都是未知的”。
明天再讲群论 —— 米尔嘉确实是这么说的。
然而，她却没能遵守约定。
因为第二天，发生了交通事故。
“这些命题”反映了一个事实。
数字世界从 扩展到 时，质数分解的形态，
是由质数除以 4 的余数决定的。
—— 加藤和也，黑川信重，斋藤毅，《数论 I》[25]
我的笔记
用下图来表示 △OPQ 和 △OP/'Q/' 相似。
设 （ 为实数），则 α, β 表现为以下形式。
此时，可用下列等式表示 αβ。
用 a, b, c, d 表示两个三角形的各边。
首先，ΔOPQ 的三边边长如下所示。
然后，ΔOP/'Q/' 的三边边长如下所示。
最后得到
可以说，三边比例相等。