7.3.1 喝着可可
夜晚，我的房间。
“学这么晚辛苦了。”我妈放下了一杯可可。
已经这么晚了吗……我看着马克杯，恍惚地想着。说过了喝咖啡就行，她却总拿来可可，能不能别总是把我当小孩子看啊。
我爸和我妈结婚后有了我，一家人。米尔嘉也有家人，泰朵拉也有家人。
我们才十来岁，但我们也背负着许多东西，某些我们要背负的东西。
米尔嘉也是。
“不过，哥哥他在我小学三年级的时候就……死了。”
泰朵拉也是。
“所以，所以……请你不要回头。”
——我后背上能感觉到泰朵拉的双手在不停颤抖。我的心也忐忑不定。
唉。
我翻开笔记本。
数学……
数学的存在很有分量 —— 我一直这么想。或许完成后的数学确实是这样，但完成之前的数学肯定有所不同。
写数学公式，就会留下数学公式。半途而废，就只会留下写到一半的数学公式。这是理所当然的。
然而，教科书上没有写到一半的数学公式。在建筑工地上已经搭好了脚手架。所以一说到数学，我们脑海中总会浮现出整然有序的、已经完成的画面。但实际上，那些创造出最尖端数学的地方，不都是跟施工现场一样乱七八糟的吗？
毕竟发现数学、创造数学的是人类，怀着残缺、震颤、忐忑之心的人类。是憧憬美丽的结构，倾慕永恒，想方设法捕捉无限的人类，培育出了今日的数学。
不是纯粹地获取，而是由自己创造出来的；从搜集不起眼的水晶碎片开始，直至建成宏伟的佛寺；在一无所有的空间里放入公理，由公理推导定理，由定理再导出其他定理；由一颗小小的种子开始，构建整个宇宙。 —— 这就是数学。
米尔嘉优雅的解答，泰朵拉付出的努力，尤里对于条件的关注……我能改变对数学的固有印象，也是受了她们的巨大影响啊。
我喝着热乎乎的可可，漫无边际地想着。
7.3.2 运算表的研究
那么，该研究数学了。
泰朵拉把 的运算表写到一半，那我也来写写看吧。
只是做个乘法运算，写出除以 12 的余数而已，费不了什么工夫。
不过，米尔嘉为什么让泰朵拉写这个运算表呢？一切得从在同余式的两边同时除以 C 这里说起。
问题7-1 （同余式和除法运算）
假设 a, b, C, m 为整数。
当 C 具有何种性质时，以下关系成立？
米尔嘉说了。
“观察乘法运算不是没用的，它能帮你更好地理解除法运算。”
好，那我就举 m = 12 这个例子，来好好观察一下这个运算表。
一行一行地读。
因为 0 乘以什么数字都得 0，所以 0 这行全部是 0。
1 这行是 0, 1, 2, ... , 11，数字依次排列。这也是理所当然的。
2 这行是 0, 2, 4, 6, 8，直到 10 数字是递增的，但是当 a × b 等于 12 的时候又归零了。因为这是以 12 为模的运算 —— 也就是说取除以 12 的余数，所以也是很自然的。
3 这行也一样。0, 3, 6，直到 9，当 a × b 等于 12 的时候又归零。
嗯……同余式
a × C ≡ b × C (mod 12)
用运算 可以写成下面这样。
a C = b C
因为 里已经包含了 mod 的计算，所以不写 ≡，写成 = 就可以。
嗯……那么接下来就要思考 的逆运算了吗。
……
不，不对，搞错了。
与其综合考虑在集合 中 的逆运算，不是应该先考虑 C 的逆元吗？假设 C 的逆元为 C/' ， C/' 就满足
C C/' = 1
如果集合 内存在这样的数字 C/'，就应该能进行“除法运算”。因为在
a C = b C
的两边同时乘以 C/'，就存在以下等式。
(a C) C/' = (b C) C/'
因为 关于 满足结合律，所以上面的式子可以写成下面这样。
a (C C/') = b (C C/')
因为 C C/' = 1，所以
a 1 = b 1
运用运算 的定义，可以写成以下这样。
(a × 1) mod 12 = (b × 1) mod 12
即
a mod 12 = b mod 12
由此，以下式子成立。
a ≡ b (mod 12)
也就是说，如果对于 C 存在逆元 C/'，那么就可以在同余式的两边同时除以 C 不是吗？
嗯嗯，总而言之，除以 C 和乘以它的倒数 是一回事。这样就不是普通的除法运算，而是考虑到 mod 的除法运算了。从这个角度来说，把 C 的逆元写成 C/'，可能不如象征性地写成 或者 C-1 比较好。
来找 C 的逆元存在的条件吧。从 里找出满足 C C/' = 1 的数字就行。怎么找好呢……啊，这样啊！很简单，用运算表就行了！只要找出表中含有 1 的行就可以。哈哈，所以米尔嘉才让泰朵拉写运算表的啊……
那么，我们把运算表中 1 的地方画上圆圈。
咦？没想到这么少。存在逆元的只有 1, 5, 7, 11 这四个吗……嗯？
1, 5, 7, 11 ？
1, 5, 7, 11 不是之前在时钟巡回里常见的“与 12 互质的数字”吗？！
也就是说，和 12 互质的数字关于 存在逆元。换句话说，只要是跟模互质的数字，就可以进行除法运算……就是这么回事吧？
说起来，米尔嘉在学校出的例子真有意思啊！—— 15 和 75 以 12 为模同余。
不出所料。除以跟 12 互质的 5，结果仍然同余。然而除以跟 12 不互质的 3，同余就不成立了。
7.3.3 证明
我试着写下刚刚根据运算表得到的猜想。
猜想：同余式中，用与模互质的数字可以进行除法运算。也就是说，当以下式子成立时，
a × C ≡ b × C (mod m)
若 C 与 m 互质（即 C ⊥ m），则以下式子成立。
a ≡ b (mod m)
好的，试着证明这个猜想吧。因为可以写出 的具体运算表，所以可以检验。但通常情况下， 包含无数个元素，写不出具体的运算表，所以必须严谨地证明。
从这里出发。
a × C ≡ b × C (mod m)
这个式子可以变形成以下这种形式。
a × C - b × C ≡ 0 (mod m)
左边提出 C，得到以下式子。
(a - b) × C ≡ 0 (mod m)
以 m 为模，(a - b) × C 与 0 同余，说明 (a - b) × C 是 m 的倍数。也就是说，存在某个整数 J，使得以下等式成立。
(a - b) × C ≡ J × m
这样一来，所有字母都是整数，且两边都变成了积的形式。
我想推导的是，存在某个整数 K，使得以下等式成立。
a × b = K × m
因为如果 a - b 是 m 的倍数，则 a - b ≡ 0 (mod m)，也就意味着下式是成立的。
a ≡ b (mod m)
又因为
(a - b) × C ≡ J × m
所以 (a - b) × C 是 m 的倍数。如果 C 和 m 互质，则 a - b 含有 m 所有的质因数。
换言之，a - b 是 m 的倍数，所以可以写成 a - b = K × m 这种形式。
嗯，在这里“互质指的是没有共同的质因数”又派上用场了。
解答7-1 （同余式和除法运算）
假设a, b, C, m 为整数。
当 C 与 m 互质时，以下式子成立。