7.4.1 既约剩余类群
第二天放学后，我跟米尔嘉在教室里谈论昨天研究的成果。
“……我是这么解的。总之一句话，同余式两边可以同时除以跟模互质的整数。”我说。
“证明出来的吗……”米尔嘉回答道，“这个嘛，除了漏掉了‘证明 是否满足结合律’和没考察‘逆’以外，还是可以的。”
“我感觉……那个……”泰朵拉支支吾吾的，跟平常不大一样，“怎么说呢，应该说觉得有点不甘心吧。我没找到在同余式中进行除法运算的条件，就是说没能解决问题。这本身挺遗憾的，但也不是因为这个而不甘心……”
泰朵拉摆弄着笔记本，在脑海中找寻着恰当的词句。
“那个……要是因为一点都不明白而没能解开也就算了。‘啊，我是因为不知道 ○○ 才没能解开问题的啊！’—— 这样我也能接受。但是这次我牢牢地掌握着所有的工具呢。
余数和 mod
同余式
群（运算、单位元、结合律、逆元）
运算表
互质
要是把这些一个个拿来问我‘这是什么？’我肯定答得出来。可是，就算这样，我还是没能解开问题。关于求能进行除法运算的条件这个问题，米尔嘉学姐已经给了我提示，让我写乘法运算的运算表了，但是我还是没能抓紧‘除法运算是乘法运算的逆运算’的含义。我知道，分数的除法运算只需要写出倒数做乘法运算就可以了，但是一牵扯到 mod 的运算，稍微换了个形式，我就没辙了。作为能进行除法运算的条件，存在着相当于倒数的元素 —— 逆元。我没想到要去研究这个条件。明明找一下运算表中含有 1 的行，就能马上发现逆元了……要是碰到 1, 5, 7, 11，说不定我也能发现互质的……”
泰朵拉微微低下头，又用力地摇了摇头。
我们一言不发，只是默默地听着。
“为什么？到底为什么呢？为什么我没能解开问题呢？为什么我没能注意到重点呢？是习惯……了吗？我一直以为我的特长就在于，不管花多少时间都会努力攻克难题。这次我也写了运算表，认真地写了，但是也就这样而已，我没能想到‘要去找 1’。我还想把数学读得更透、更透、更透……”
放在笔记本上的双手死死地紧握在一起。
“泰朵拉……”我插了句嘴，扫了一眼米尔嘉。
米尔嘉也看着我，微微点了点头。
“泰朵拉，数学的问题能解开就是能解开，解不开就是解不开。有时候一直认为很难的问题可能无意中就解开了，一直认为很简单的问题可能很奇怪就解不开。你看，你不也把我觉得很难的‘五个格点’的问题解开了吗？你也很棒地运用了鸽笼原理呀。这次的问题也是这样哦。你把问题理解得很清楚，解答也理解得很到位，还很好地整理了重点。这些都不是白费的。来来，抬起头来，活力少女！你平常可不是这样的哦！”
泰朵拉慢慢地抬起头，一脸尴尬。
“我发了奇怪的牢骚，对不起。”
她低下头道歉。
我斜着眼看了看米尔嘉，米尔嘉淡淡地说道：“要是因为没能解开问题就失落的话，就没完没了了。而且就算是解开了问题的青涩王子，我也很怀疑，他把运算表读到了什么份儿上。”
“诶？怎么回事？”没想到矛头居然指向了我。
米尔嘉像画 一样挥动着食指，没搭理我就继续往下说道：“举个例子 ——
‘集合 关于 不构成群’
你注意到了吗？”
“什么？！”我吃了一惊。
这样啊，我求的是有逆元这个条件。也就是说，集合 里包含“有逆元的元素和没有逆元的元素”。也就是说，这个集合不是群。如果是群，所有的元素都应该有逆元。这么说来，这是再当然不过的。我居然到现在才发现……
“喔……你这么吃惊，说明你也没意识到
‘集合 {1, 5, 7, 11} 构成群’
对吧。”
“啊！”我又吃了一惊。
跟 12 互质的整数集合 {1, 5, 7, 11} 构成群？米尔嘉说出“构成群”的一瞬间，我就感觉到这个集合被赋予了结构，感觉集合的元素一下子绷紧了似的。
“的确，的确，的确能构成群啊！”我感叹道。
“你说了三次‘的确’，质数。”米尔嘉模仿我的口吻说道。
“是关于什么运算的群呢？”泰朵拉问道。
“泰朵拉……问得好。一听到群，就自然而然地要问‘是什么样的集合？’‘是什么样的运算？’这是掌握群的定义的标志。”
“嘿嘿……”
“泰朵拉，来这边。”米尔嘉招手。
“来了，哎呀！不不不不不用了！”泰朵拉红着脸摆着两手，看来是从经验汲取教训了啊。
“集合 {1, 5, 7, 11} 关于运算 构成群。也就是说，在求一般的积之后，再求以 12 为模的余项。就是这么个运算，运算表如下。”
“原来如此……”我在脑海中检验了一遍群的公理。集合 {1, 5, 7, 11} 关于 是闭集，单位元不用说，是 1。各个元素都有逆元（逆元就是元素本身），结合律也 OK，确实构成群……
集合 的元素中，存在有逆元的和没有逆元的元素。也有像 {1, 5, 7, 11} 这样，只抽出有逆元的元素来形成子集，从而构成群的啊。真是相当有意思。
“这个群称为既约剩余类群。对于集合 的既约剩余类群，数学公式就写作 。”
“米尔嘉学姐！这个群是阿贝尔群对吧！”
“为什么这么想？”
“因为这个运算表关于对角线轴对称，就是说满足交换律啊！”
“没错。泰朵拉，你这不是好好看了运算表吗。”
米尔嘉的这句话让泰朵拉一脸高兴地微微笑了。
7.4.2 由群到环
接下来，我们来说环。
对群而言，集合中只能定义一种运算。
对环而言，可以在集合中定义两种运算。跟群一样，这个运算是什么都没关系。有关系的只有一个条件，运算是否满足“环的公理”。
我们下面用 + 和 × 来表示两种运算的符号。因为这两个符号常用，我们已经看习惯了。然后我们将这两种运算称为加法运算及乘法运算，也有直接称为加法和乘法的情况。
在这里别忘了，这两种运算表示的不仅仅是一般意义上的加法运算和乘法运算。不管任何时候，只要有需要，都应该回头确认一下环的公理，这是非常重要的。
在这里，就出现了泰朵拉说的‘不拘小节地同等看待’。这里说的加法运算不一定是我们平常说的加法运算，我们只是把某个运算称为加法运算，使用符号 + 来表示，同理，这里的乘法运算也不一定是我们平常概念中的乘法运算，只是把某个运算称为乘法运算，使用符号 × 来表示。
我们更进一步，把这个“加法运算”的单位元称为 0，“乘法运算”的单位元称为 1。0 不是我们平常数字概念中的 0，只是把它称为 0 而已，同理，1 也不是我们平常数字概念中的 1，只是称为 1 而已。
这就好比数学中的“比喻”。明白了吧。
在讲述环的公理之前，我先介绍一下“分配律”。我们知道数字世界的分配律。环的世界的分配律基本上也是同样的形式。
分配律是连接两种运算的法则。因为出现了两种运算，所以涉及群时就不会出现分配律的问题。
分配律
(a + b) × c = (a × c) + (b × c)
看，这就是环的公理。
环的定义（环的公理）
我们将满足以下公理的集合称为环。
关于运算+（加法） ——
闭集
存在单位元（称为 0）
所有元素都满足结合律
所有元素都满足交换律
所有元素都存在与其对应的逆元
关于运算×（乘法） ——
闭集
存在单位元（称为 1）
所有元素都满足结合律
所有元素都满足交换律
关于运算 + 和 × ——
- 所有元素都满足分配律
这里叙述的环的定义，严谨地说，是被称为‘存在乘法单位元的交换环’。根据数学书的不同，环的用语也多少会有些变动。不过一般每本书中都会写出定义，所以没什么大碍。
那么，我来出个环的题。
◎ ◎ ◎
“我来出个环的题。”米尔嘉对泰朵拉说。
“环是关于加法的阿贝尔群吗？”
“诶？什么意思啊？”
“不明白是吗？环包含两种运算，我们分别称这两种运算为加法和乘法。我们在这里只关注加法，我问的是，环关于加法运算能构成阿贝尔群吗？泰朵拉你该不会不知道怎么判定是不是阿贝尔群吧？”
“啊！我知道了。只要比较公理就行了。稍等一下，我想想阿贝尔群的公理。阿贝尔群指的是在集合中，关于运算是闭集……还有还有，有单位元，对于任何元素都满足结合律，对于任何元素都满足交换律……还有，对对，对于任何元素都存在逆元。再读一下环的公理就……对对，的确满足阿贝尔群的公理。所以‘环关于加法构成阿贝尔群’。”
“好，这次我们抛开加法，只关注乘法。”
“环关于乘法构成阿贝尔群吗？”
“嗯，当然构成了。”
“为什么？”
“因为环关于加法构成阿贝尔群，所以关于乘法也……”
“你确认环的公理了没？”
“没……没有。”
“为什么没有？”米尔嘉轻轻地敲了一下桌子，“眼前列着一堆命题，为什么不读？你不是想‘把数学读得更透、更透、更透’吗？”
“对不起，我这就读……啊啊啊啊啊啊啊！错了！错了！我太大意了！环虽然定义有两种运算，但是叫作‘乘法’的运算却不满足‘所有元素都存在与其对应的逆元’这个公理！”
“没错。环有加法和乘法，但公理却不是对称的。乘法运算也不一定要有逆元，也就是说，环对于乘法运算本来就不一定是群。因为不一定是群，所以当然也不一定是阿贝尔群。”米尔嘉说道。
环和群
环关于加法是阿贝尔群。
环关于乘法不一定是阿贝尔群。
“为什么又这么模棱两可的……”泰朵拉小声地自言自语道。
“什么模棱两可了？”
“不必非要这样弄出个不对称的公理吧……”
“泰朵拉，你现在已经知道了具有代表性的环，这哪是模棱两可的环，它可是创造出了华美深奥的世界噢！”米尔嘉说着，眼中闪着兴奋的光芒。
“是怎么一回事？”泰朵拉一脸疑惑。
“可以进行加法运算。因为肯定存在关于加法的逆元，所以也可以进行减法运算，乘法运算也可以。加法运算和乘法运算都满足分配律，但是关于乘法不一定有逆元，所以不一定可以进行除法运算。这样的集合你应该很熟悉。我就是想说这些。”
“诶？不能进行除法运算的集合？ a 的倒数不能变成 的意思吗？我不太明白……”
“喔……还不太明白吗？倒是可以变出 ，但是 要是飞出集合范围外就不行了。大前提是，对于我们关注的集合来说，运算为闭集。集合中没有相当于 的元素……你说，这是什么样的集合？”
“嗯……抱歉，我不知道。”
“是整数集合。全体整数集合 关于加法运算 + 和乘法运算 × 构成环。然而， 中不一定包含 （ 满足整数 a ≠ 0，且为乘法运算的逆元）。只有当 a = ±1 的时候，逆元 。虽说不能进行除法运算，全体整数集合也并不是‘模棱两可’的。即便没有除法运算，整数的世界也是丰富多彩的。”
我听着米尔嘉和泰朵拉的谈话，忽然意识到了什么。
“米尔嘉，难不成环是集合 的抽象化表现？”
“这个嘛，你这么想也没什么错。集合 关于加法 + 和乘法 × 构成环。 我们把这个环称为整数环。另外，用 mod m 考虑加法 + 和乘法 × 的话， 集合 也构成环。我们把这个环称为剩余类环。因为都叫作环，所以可以把 和 同等看待。”
“为什么要叫作环呢？”
“为什么 叫‘环’，我也不知道。说不定是从剩余类环 的圆环形象来的。”2
2希尔伯特在表述“环”这个概念时，首次用到了“Zahlring”（数字的环）这个说法。
“用英语要怎么说呢？”
“ring。”米尔嘉突然加快了语速，“整数环 和剩余类环 都满足‘环的公理’。但是，这两种环大不相同。 就像是数轴上排列的点， 的点则分布在圆环上，就像是时钟的表盘； 是无限集合， 是有限集合； 具有无限性， 具有周期性。两者虽然大相径庭，却都满足环的公理。也就是说，只要存在从环的公理中推导出的定理，这个定理一定适用于 ，也同样适用于 。因为它们都是‘环’。这就是抽象代数！”
这样啊……我在思考某个集合，定义运算的时候，只要这个集合满足环的公理，就能把已经经过数学家们证明的环的定理拿来用啊……
我一瞬间看到了许多命题，它们如森林般，如星座般不断扩张，创造了一个巨大的体系。我不知道关于环的定理，但这些基于环的公理的诸多关于环的定理，一定是数学家们长年累月筑造而成的。我深信 —— 是数学家们造就了如此雄伟的建筑物。
7.4.3 由环到域
“因为环的公理里没有写明，所以环里不一定存在关于乘法的逆元，也就是说环里不一定能进行除法运算。接下来，我们思考一下除法。假设存在某个环，这个环里除 0 以外的所有元素都能进行除法运算，我们把这个环称为域。
英语叫作 field。我也不知道为什么起这个名字。”3
3尤利乌斯·威廉·理查德·戴德金在表述“域”这个概念时，首次用到了“Körper”（域）这个说法。
泰朵拉点头，米尔嘉突然压低了嗓门。
“对群而言，集合中只能定义一种运算。对环而言，集合中能定义两种运算。而对于域，集合中……”
“能定义三种运算吧！”
“不对。”
“咦？”
“并不是逐步增加运算的数量，比如说，存 在‘加法’和‘关于加法的逆元’就能进行‘减法’的运算，同理，存在‘乘法’和‘关于乘法的逆元’就能进行‘除法’的运算。‘关于乘法是否存在逆元’是环和域唯一的区别。关于乘法……对环而言，可以包含不存在对应的逆元的元素，但对域而言，除 0 以外的所有元素都必须存在与其对应的逆元。”
“0 以外的……还带着这个条件啊。”
“没错，0 的逆元可以不存在，这就相当于刨去 了‘除数为 0’这个条件。”
域的定义（域的公理）
我们将满足以下公理的集合称为域。
关于运算 +（加法） ——
闭集
存在单位元（称为 0）
所有元素都满足结合律
所有元素都满足交换律
所有元素都存在与其对应的逆元
关于运算 ×（乘法） ——
闭集
存在单位元（称为 1）
所有元素都满足结合律
所有元素都满足交换律
除 0 以外的所有元素都存在与其对应的逆元
关于运算 + 和 × ——
- 所有元素都满足分配律
（域与环的区别在于，关于乘法是否存在逆元）
“来，我们照老样子，来举个域的例子。因为‘示例是理解的试金石’嘛。”
米尔嘉摊开两手催着泰朵拉。
“我想想……”
泰朵拉嘴里念叨着，在笔记本上写着什么。过了一会儿，她唰地举起了手。
“我想到了……比如说，分数 的集合是‘域’吗？”
“a 和 b 是什么？”米尔嘉马上反问道。
“a 和 b 是整数。所以我指的是全体 的集合。我认为这个集合是域。”
“对她的回答，你怎么看？”米尔嘉问我。
“有两处不足。”我答道，“一处是，她似乎忘记了分母可能为 0。条件必须是 。然后还有一处不足就是，这个集合已经有名字了，它是全体有理数的集合 。”
“啊！是这样呢。全体有理数的集合是‘域’吧？”
“没错。叫作有理数域。说起来，在之前证明基本勾股数的无限性的时候，我们也利用了全体有理数的集合是域这个条件呢。”
“啊，对啊。是用直线切断单位圆的那个证明吧。”我点头。
“在整数环 中加入一般的除法就是有理数域 。”米尔嘉继续讲道，“那么，要是想在剩余类环 中加入一般的除法，该怎么办呢？这就出现了下一个问题。”
问题7-2 （将剩余类环变成域）
剩余类环
是域，写出模 m 满足的条件。
“能给我点时间吗？我还没完全掌握环和域的定义……”
“你随意。”
我也在想。已经给出很多提示了，大概能猜到是怎么回事了。我在笔记本上写了几个剩余类环的运算表，开始思索。
“难不成，是这个条件吗？”
泰朵拉畏畏缩缩地开口。
“嗯？什么条件？”米尔嘉问道。
“模 m 的条件吧，这个，对于任意整数 …… 不对，只对于集合的元素就好，啊！还要除去 0 …… 嗯，所以 m - 1 个整数里 1, 2, ... , m - 1 中的每个数字只要与模 m 互质， 就能变成域……我认为。”
“喔……”
“因为那个，在同余式里考虑除法运算的条件的时候，能进行除法运算的只有与模互质的数字。所以，我才……”
“泰朵拉，这个事儿吧……唔！”
“沉默是金！”米尔嘉拿手捂住了我的嘴，不让我评价。
（好温暖）
米尔嘉就这么捂着我的嘴，像唱歌一样说道：
“泰朵拉，泰朵拉，喜欢词语的泰朵拉，
‘整数 1, 2, ... , m - 1，与模 m，互质。’
你的心，没有因这个想法雀跃吗？”
“诶？这，这个 …… 1 和 m 互质，2 和 m 互质，3 和 m 互质，4 和 m 互……”
就在这时，泰朵拉突然不说话了。
过了三秒。
她慢慢瞪大了眼睛。
慢慢张开了嘴。
两手慢慢捂住了嘴。
“这是……质数？！”
“没错。”米尔嘉点头。
“唔嗯。”我也点头。现在该把手放开了吧？
“就是说，m 是质数对吧。嗯，这个……也就是说，m 是质数的时候，剩余类环 是域！”
“就是这样。m 是质数的时候，关于乘法，剩余类环 除了 0 以外的所有元素都有与其对应的逆元，也就是域。也可以反过来说，剩余类环 为域的时候，m 是质数。虽然也有 m = 1 这种特殊情况。”
泰朵拉眼眶湿润了。
“为什么，为什么我会这么感动呢。突然在这种地方出现了质数！环的公理和域的公理里面，根本就没有提到过质数。然而由剩余类环创造域的时候，元素数字是质数这个条件在这里居然会起到作用，真是不可思议！”
米尔嘉终于把手从我的嘴上拿开了。呼……
“假设 p 为质数，将剩余类环 看作是域，这时可将其称为有限域 。
如果把像时钟一样旋转的剩余类环看作整数的微缩模型，那么用质数 p 构造出的有限域 也可以说是有理数的微缩模型吧。从时钟到 mod，然后是群·环·域 —— 世界旋转得真壮观啊。”
米尔嘉一脸满足地总结道。
解答7-2 （将剩余类环变成域）
模 m 是质数时，剩余类环 为域。