10.4.1 什么是椭圆曲线
我们从食堂转移到了二楼的咖啡店，找了张能坐下四个人的大桌子，大家一起喝着咖啡（只有尤里喝着可可），继续刚才的话题。
“尤里，你还想回去吗？”米尔嘉问道。
“我在听，不管听得懂，还是听不懂。”
“好，那么我先从定义开始讲起。椭圆曲线指的是……”
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椭圆曲线指的是当 a, b, c 为有理数时，可用以下方程式表示的曲线。
y2 = x3 + ax2 + bx + c
但存在以下附加条件。
三次方程 x3 + ax2 + bx + c = 0 没有重根。
这是椭圆曲线的定义，严格来说是‘有理数域 上的’椭圆曲线的定义。也就是说，我们将 x, y 考虑成有理数域 的元素。
打个比方，以下式子是椭圆曲线的方程式。
y2 = x3 - x 椭圆曲线的方程式的例子
在这里我们把方程式 y2 = x3 + ax2 + bx + c 中的 (a, b, c) 替换成了 (0, -1, 0)。右边的 x3 - x 可以分解成如下形式。
x3 - x = (x - 0)(x - 1)(x + 1)
因为三次方程 x3 - x = 0 的解有三个，分别是 x = 0, 1, -1，且没有重根，所以满足椭圆曲线的条件。我们来画个图。
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“左边圆圆的那个，是椭圆吗？”泰朵拉问道。
“不是。”米尔嘉答道，“‘椭圆曲线’含有‘椭圆’这个词，是有历史渊源的。椭圆曲线的形状和椭圆没有关系。”
10.4.2 从有理数域到有限域
接下来，我们从代数角度研究椭圆曲线 y2 = x3 - x。
我来简单说明一下数学都有哪些领域。
代数关注的是方程式和方程式的解，以及群、环、域等。
几何关注的是点、线、平面、立体、相交、相切等。
分析关注的是极限、微分、导函数、积分等。
当然，这些是相互关联的。例如，方程式里的“重根”虽然是代数概念，但却跟曲线‘相切’的几何概念，“导函数”值为 0 的分析概念相关。
幸好我们只是体验一下谷山 - 志村定理的气氛，用不着大型武器。需要的只有余项、毅力、想象力。
我们刚刚为了把握椭圆曲线 y2 = x3 - x 的样子，将三次方程 x3 - x 进行了因式分解，解了三次方程式 x3 - x = 0，并得到了 (0, 0), (1, 0), (-1, 0) 这三个有理点。
存在一个有理数域 ，也就是存在有限个有理数域。但有理数域的元素数量是无限的。也就是说，有理数是无限的。
在这里，我们逆转一下思维，即想出无限个具有有限个元素的域。我们知道这样的域，它就是有限域。有限域 有 p 个元素，也就是有限个元素。但质数 p 却有无数个，所以存在无数个 。
接下来，我们要从“有理数域 的世界”空间传送到“有限域 的世界”了哦。
我们从有限域 中找一个满足椭圆曲线方程式的点 (x, y)。
换言之，就等于把椭圆曲线方程式看作以下这个同余式。
关于有限域，我们简单复习一下。有限域 是含有 p 个元素的集合，用 mod p 进行加减乘除运算的域。
为了保证 0 以外的元素可以进行除法运算，p 为质数。如下所示，有限域 有无数个。
虽然域的数量是无限的，但不要忘记每个域的元素数量是有限的。
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“为什么‘有限个’这么重要呢？”泰朵拉问道。
“因为能逐个击破。”米尔嘉马上回答，“有限域 只含有 p 个元素，所以我们可以把这 p 个元素代入 x 和 y 中来进行调查。只要质数 p 不大，我们就可以动手计算，一点一点地去找寻满足椭圆方程式的点 (x, y)。”
“这需要毅力喵！”尤里叫道。
“对。”米尔嘉点头，“有限域 是微型的有理数域 。最适合拿来玩了。那么，我们来逐个击破吧。”
10.4.3 有限域 F2
最简单的有限域 ，其运算表如下。因为是域，所以有加法和乘法。我们在进行一般计算后，求除以 2 的余数（余项）。
(x, y) 可能出现以下 4 种组合。
(x, y)=(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)
我们把这 4 种情况都代入到方程式 y2 + x = x3 中，看等号是否成立。但在加减乘除的运算中则使用上述运算表。减法的话我们只要加上加法中的逆元就行了，不过太麻烦了，所以我们就将 x 移项，用以下形式来验证。
y2 + x = x3 （将 x 移项到等式左边，消去减法）
例如，当 (x,y) = (0,0) 时，将其代入 y2 + x = x3，则得到 02 + 0 = 03。用运算表计算的话，左边等于 0，右边也等于 0。因为左边和右边相等，所以 上的点 (0,0) 满足方程 y2 = x3 - x。同理，我们来试着验证其他几组 (x,y)。
这样一来，我们可知方程式 y2 = x3 - x 在 上的解为以下两个。
(x, y) = (0, 0), (1, 0)
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“米尔嘉大人！在空间传送后，没有重根的条件……”
“尤里，你真聪明。”米尔嘉回应道。
“原来如此！”我突然明白了。尤里真厉害啊。
“你们发现了什么啊？”泰朵拉一脸困惑。
“尤里。”米尔嘉催促尤里开口。
“嗯。在传送之前，椭圆曲线有 x3 + ax2 + bx + c = 0 不存在重根这个条件。但是我觉得……在传送之后，不用在有限域的世界把这个条件再研究一遍喵？”
“尤里说得对。”米尔嘉说道，“在有限域中考虑椭圆曲线的时候，应该重新审查一次条件。因为掉落到微型世界的时候，椭圆曲线可能已经不包含这个条件了。”
尤里绝不放过任何一个条件。真是这样啊。
“事实上 是什么情况？”我问道。
“在 上，y2 = x3 - x 不构成椭圆曲线。因为 x3 - x 可以像下面这样进行因式分解。平方因子 (x - 1)2 有重根。”
x3 - x = (x - 0)(x - 1)2 在 上的因式分解
“这个因式分解是对的吗？”泰朵拉问道。
“是对的。想想有理数域上的因式分解——
x3 - x = (x - 0)(x - 1)(x + 1) 在 上的因式分解
在 上，1 是自身加法中的逆元，所以‘加 1’就等于‘减 1’。也就是说，x + 1 可以换成 x - 1。”
“我明白了，重要的是在哪个域上进行运算吧。”泰朵拉似乎也理解了。
10.4.4 有限域
“这次我们举有限域 的例子。运算表如下。
(x, y) 一共有 9 种情况。我们把这 9 种情况都代入到方程式 y2 + x = x3 中，看等号是否成立。”
“这样一来，我们可知方程式 y2 = x3 - x 在 上的解为以下 3 个。”
(x, y) = (0, 0), (1, 0), (2, 0)
“米尔嘉大人，在 上还构成椭圆曲线吗？”
“是。在方程式 y2 = x3 - x 的情况下，只有在 的情况下掉落到有限域的时候才不构成椭圆曲线。说明我就省了。”
“掉落到有限域……是吗？”泰朵拉很在意用词，追问道。
“正确来说叫归约。将有理数域上的椭圆曲线移到有限域，称为归约。如果于质数 p 归约椭圆曲线都不会产生重根，那么这种情况就叫作‘于 p 有好的归约’，如果产生了重根，就叫 作‘于 p 有坏的归约’。椭圆曲线 y2 = x3 - x 于 2 有坏的归约。因为它在 上有重根。”
“‘归约’吗……感觉像化学术语 1 呢。”泰朵拉说道。
1“归约”的日语为“還元”，日语化学中也使用这个词，意思是还原。—— 译者注
“坏的归约也分好几种。于 p 归约的时候，如果重根停留在二重根的范围内，就把这条椭圆曲线称为‘于 p 有乘法归约’，如果有三重根，则称为‘于 p 有加法归约’。”
“好复杂喵。”
“然后，不管于什么质数归约，只存在‘好的归约’和‘坏的归约’这两种情况时，我们就将这条椭圆曲线称为半稳定的椭圆曲线。”
“诶？！”我提高了嗓门，“这就是怀尔斯证明了的那个……”
“对。这就是怀尔斯定理‘每一条半稳定的椭圆曲线都可以对应一个模形式’中出现的‘半稳定’的定义。半稳定的椭圆曲线指的就是不管于任何质数归约，重根数量都只停留在二重根的椭圆曲线。”
10.4.5 有限域
有限域 的运算表如下。
这次我们来一个个确认 (x, y) 的 25 种情况。
这样一来，我们就可以知道方程式 y2 = x3 - x 在 上的解为以下 7 个。
(x, y)=(0, 0), (1, 0), (4, 0), (2, 1), (3, 2), (3, 3), (2, 4)
10.4.6 点的个数
“差不多该想要自己来计算了吧。我们把方程式 y2 = x3 - x 在有限域 中解的个数用 s(p) 来表示。
s(p) =（方程式 y2 = x3 - x 在有限域 中解的个数）
我们已经研究完了 s(2), s(3), s(5)。我想请人来填下面这个表格。
我们来分工合作吧。尤里负责 和 ，泰朵拉负责 和 ，然后你负责 和 。”米尔嘉对我说道。
“米尔嘉大人呢？”尤里问道。
“我睡个午觉。你们填好了叫我。”米尔嘉说着闭上了眼。
我们三个人默默地算起了有限域。求在有限域 中有几个满足椭圆曲线 y2 = x3 - x 的点。
p 越大越费工夫，不过计算本身并没有那么困难。我在计算的间隙中偷瞄了一眼米尔嘉。
米尔嘉闭着眼睛，轻轻靠在椅背上。仔细一看，她已经安静地睡着了。这位黑发才女，还真的睡着了啊……
泰朵拉在旁边戳了戳我。
“学长，你怎么停下来了。”
在求完点的个数以后，我们互相检查了各自负责的部分。我有一个计算错误，泰朵拉有三个，尤里则是零个。
“尤里真厉害啊……”泰朵拉感叹道。
“喵哈哈～”
“那，我们该叫醒女王大人了吧。”
10.4.7 棱柱
“数列 s(p) 的表填好了。”米尔嘉醒来后马上接着往下讲。
“我们略微涉足了椭圆曲线的世界。以 y2 = x3 - x 这条椭圆曲线为例，数了数这条椭圆曲线在有限体 中解的个数。”
“s(p) 有什么含义吗？”泰朵拉举起手。
“我感觉有点像质数喵。”
“这个数列 s(p) 体现了椭圆曲线 y2 = x3 - x 的一个侧面。使用无数的有限域，就可以从各种各样的角度来看椭圆曲线。”
“好像棱镜啊！”泰朵拉说道，“阳光透过棱镜会被分解成无数种颜色的光，把所有的光重合在一起又会还原成本来的阳光。感觉跟这个很像不是吗？有理数域 是阳光，有限域 表示每个质数 p 的颜色……”
“这比喻相当不错。”米尔嘉说道，“关于‘椭圆曲线的世界’我们就先谈到这里，吃完巧克力慕斯后，接下来我们就该前往‘自守形式的世界’了。”
“巧克力慕斯？”
“现在尤里正过去买呢。”尤里从米尔嘉那接了钱，摇晃着马尾辫跑到了甜点区。