地图投影就是把地球曲面展示在平面的纸张上。不管你如何绞尽脑汁想把世界“压平”，你用投影的方法永远也无法把地球的细节按其正确的相对大小、形状、距离或方向表示出来。地图上有些地方总是不能正确反映其实际地理位置，地图学家的任务就是选出并保留地球上对我们当前的意图有特殊意义的那些联系，尽量减少或者接受那些不可避免但不甚重要的歪曲。
如果直视地球仪，我们只能看见前面而看不到后面。要绘制一张世界地图，就必须采用一种方法把我们看得见的半球的曲面压平。然后必须把地图从看不见的半球的中间剪开，把后面的2个1/4各自贴在可见半球的两边。简单地说，就是必须从地球仪上把地图一片片地“剥”下来并将其压平，就像把柑橘皮剥开压平一样（图A.1）。在“剥离”和“展平”的过程中，地图表面不可避免地会发生断裂，或者为了使地图展平导致地球表面拉伸或收缩。
图 A.1 （a）从全球范围的地图上被小心剥离的“小片”产生一整套锥形三角条带，虽然每一条拉伸或压缩不多，但总体上未能形成一张很有用的世界地图。（b）通常认为最好把整个地球表面描绘成一个平面的圆、椭圆或矩形，以避免或尽量减少地图的中断。但是，面积连续性的代价只能是真实形状、距离、方向和（或）面积相当大程度的改变。虽然本图所示的莫尔韦德① 投影正确地表示了面积大小，但是扭曲了形状。
当然，制图者并不真正对地球表面进行切割、剥离、展平或拉伸作业。他们的任务更多的是把地球仪网格或地理坐标网的纬线和经线网络画在或投影到平面上。有多种方法可以做到这一点。在讨论地图投影之前，谈及下面这点很重要，即地球仪的球形网格中有两种圆。一种是大圆 （great circle），即一个平面穿过球体中心时在球面上形成的圆。因此，赤道就是一个大圆，每条经线是大圆的一半。每个大圆都把地球仪切成两半，将其分成相等的两个半球。地球表面任意两点间的最短距离就是大圆上连接这两点的弧线长度。另一种是小圆 （small circle），是不通过地球中心的平面在地球仪表面形成的圆。除赤道外，所有纬线圈都是小圆。不同的投影以不同方式表示大圆和小圆。
几何投影法
虽然所有投影均可用数学方法描述，但是其中有些可以被认为是用几何方法而不是数学公式构建的。在几何投影中，理论上网格系统是将地球仪转换为一种几何图形，例如圆柱形或圆锥形，随后学者就能将其剪开和铺平（或展开）而没有任何拉伸或撕裂（图A.2）。我们说圆柱、圆锥和平面是可展曲面 （developable surface）——可以把圆柱和圆锥切开、展平而不变形，而平面本来就是平的。实际上，几何投影不是把影子描摹下来，而是应用几何学原理，把线、圆、弧和角画在纸上。
图 A.2 几何投影。常用的3种几何投影是圆柱投影、圆锥投影和平面投影。你可以这样想象地图投影的制作：把一个光源置于透明地球仪里面，把一张纸如图中所示的方式与地球仪接触。地球仪上的网格和大陆轮廓就会被映射到纸上形成一张地图。
设想一个透明的地球仪，两侧或外面有一个光源。地球仪上的经线和纬线（或海岸线或其他任何特征）就会被投影到附近的平面上。投影上的地球仪网格就代表一种地图几何投影。如图A.3所示，光源相对于地球仪表面的位置对可展几何表面上的方格线投影产生相当大的变形影响。光源位于理论上无限远处就得到正射投影（orthographic projection）。光源位于地球仪中心就产生球心投影（gnomonic projection）。光源置于对跖点——相切点正相对的两点上，或地球仪与地图相接触的点上——就产生球面投影（stereographic projection）。
图 A.3 光源位置对平面投影的影响。请注意光源移动时纬线间距出现的变化。使用圆柱投影和圆锥投影会形成完全不同的地图网格。
圆柱投影
假如把一张纸卷贴在透明地球仪上，令其与赤道圈相切（相接），那么该切线叫作“标准线”（standard line，如果它是一个纬度圈，就叫标准纬线），在这条线上地图没有变形。这张纸的高度不等于地球仪的高度，纸张远远延伸到两极以外。至于球心投影，是将光源置于地球仪中心，让光线投影到圆柱形纸筒上。结果就得到许多 圆柱投影 （cylindrical projection），所有这一切都是从包围着地球仪的圆柱上用几何方法或数学方法得到的。
请注意刚才投影所得的网格与真实地球仪网格的不同之处。经纬线网格如同地球仪上那样以直角相交，投影出的经纬线分别是南北向和东西向的直线。但是经线并不像地球仪上那样在两极交会。相反，经纬线都是等距离、相互平行或相互垂直的线条。由于各地经线之间都是等距的，因此所有纬线长度也都相等。虽然切线（赤道）上比例不失真，但是离赤道越远，失真越大。两极地区向南北东西四方伸展，面积被极度夸大。圆柱投影的光源位于地球仪中心、圆柱与赤道相切，这种投影永远无法表示两极本身。
源自数学方法的墨卡托投影 （Mercator pr-ojection）是在圆柱与赤道相切的启发下得到的。这是一种最常用（和误用）的圆柱投影。墨卡托投影是1569年格拉尔杜斯·墨卡托（Gerardus Mercator）发明的，用以绘制航海图，那时欧洲正处于世界探险的高峰期。它是航海家使用的标准投影，因为这种投影具有一种特别有用的特性：地图上任意画出的直线就是恒定的罗盘方位。只要沿着这条被称为恒向线 （rhumb line）的方向走，船只或飞机罗盘的读数就永远是航线和地理北极所构成的夹角（图A.4）。其他投影都不具备图上直线既是恒向线又指示真实方向的性质。
图 A.4 墨卡托投影的失真。把一个完美的五角星画在地球仪上，图中所示就是被转移到墨卡托地图上五角星各点的经纬度。五角星失真的样子反映了陆地面积的投影变形。随纬度增高，面积扩大到除非有不同纬度比例尺的图例，否则墨卡托地图根本不应刊印。墨卡托投影最重要的性质是地图上任何直线都是不变的罗盘方位，或称恒向线，这在所有投影法中是唯一的。虽然恒向线通常并非两个地点之间的最短距离，但是航海家会在起点和目的地之间画一系列直线来逼近大圆弧航线。
墨卡托投影虽然是极佳的导航设备，但是也常常作为多用途世界地图误用于书本上或挂在墙上——因为其上远离赤道地区陆地面积给人以极其夸大的印象。请注意图A.4中格陵兰好像比墨西哥大许多倍，事实上它只略微大一点。而阿拉斯加和巴西大小好像差不多，但事实上，巴西面积是阿拉斯加的5倍以上。
许多圆柱投影既不是等积的也不是正形的，例如图A.5所示的米勒圆柱投影（Miller cylindrical projection），此类投影常用作世界地图的底图。米勒投影上经线和纬线之间的间距不像墨卡托投影那样向两极迅速增大，因此高纬度地区面积失真较小。尽管米勒圆柱投影没有保持住地球的特性，但仍被用于地图集和挂图上。
图 A.5 用数学方法产生的米勒圆柱投影。
圆锥投影
在三种可展开的几何形式——圆柱、圆锥和平面——中，圆锥最接近真实的半球形状。因此，圆锥投影 （conic projection）常用于描述半球或更小的地区。
此类投影中很实用而且最可视化的是单圆锥投影（simple conic projection）。试设想把一个圆锥置于地球仪一半处，与30°纬线相切，如图A.6（a）所示。只有这条标准纬线 （standard parallel）上的距离是真实的。当然，圆锥展开时标准纬线就变成一段圆弧，其他所有纬线也变成同心的圆弧。如使用中心光源，离极地越近，纬线间距越大，因而失真也越大。
图 A.6 （a）一条标准纬线的单圆锥投影。大多数圆锥投影经过调整，因而其中央子午线上纬线间距相等。（b）多圆锥投影。制图时从一系列圆锥中把许多条带东西端连接起来，每个圆锥均与不同纬线相切。这种投影与单圆锥投影不同之处在于各纬线不是同心圆弧，经线也不是直线而是曲线。虽然既非等积亦非正形，但这种投影长于展示形状。注意图上的星形是近于完美的五角星，不像图A.4所示的星形那样。
可以通过下述方法减少失真的程度：缩短中央子午线的长度，把经线上纬线的间距取成等长，并把90°纬线（南北极）画成弧形而不是一个点。一般使用的圆锥投影大多采用这种数学调整法。如使用一条以上的标准纬线的方法，就叫作“多圆锥投影”（polyconic projection，图A.6［b］）。
圆锥投影应用很广，因为其能把失真调整到最低限度，而且要么是等积的，要么是正形的。然而，它不能表示地球的全貌，这是其本性使然。事实上，这种投影最常用于而且通常也局限于制作中纬度地区东西距离较长南北距离较短的地图。许多官方地图系列使用圆锥投影。例如美国地质调查局编绘的《美国地图集》（ National Atlas of the United States of America ）就选用阿伯斯等积圆锥投影（Albers equal-area conic projection）。这是一种等积投影，即使像美国这样大的面积也基本不失真，见图A.7。
图 A.7 用于美国许多官方地图的阿伯斯等积圆锥投影有两条标准纬线。所有纬线都是同心圆弧，经线为直线，经线和纬线以直角相交。这种投影最适于东西距离略长于南北距离的地区。
平面投影
平面 （或方位）投影 （planar projection / azimuthal projection）是通过把一个平面正切于地球仪上某一点来构建的。虽然该平面可以接触制图师想要的任何一点，但是在选择极点的情况下，即把平面中心放在北极或南极，最容易做到可视化（图A.8［a］）。
等距投影 （equidistant projection）能够以任何地点为中心，因此十分有用，有助于校正从一点到其他任意地点的距离。因此，常用以表示从某个地点飞往其他地点的航线。如果平面置于极点以外的其他地点，则经线和纬线会变得奇形怪状，如图A.8（b）所示。
图 A.8 （a）平面等距投影。经线为直线，纬线是经线上等距的圆。由于这种投影从中心到其他任何地点的距离都是准确的，因此其实用性强。如果把网格延伸以表示南半球，则南极就被描绘成一个圆而不是一个点。（b）以伊利诺伊州厄巴纳为中心的平面等距投影。以英里表示的比例尺仅适用于从厄巴纳开始或通过该地点的航线的距离。地图边缘代表厄巴纳相对地点的数值被无限地拉长了。（［b ］Copyright 1977, Brooks and Roberts; with permission ）
由于这种投影特别适合表示极地大陆的排布，因此地图集中常使用平面投影地图。依靠特别的投影方法，就能够描绘真实的形状、面积，或两者的折中。此外，有一种平面投影广泛应用于导航和无线通讯。图A.9所示的球心平面投影（gnomonic planar projection）是唯一能以直线表示所有大圆（或部分大圆）的投影。由于大圆是两个地点之间的最短距离，因此航海家只须把两点之间连一直线就可以找到最短航线。
图 A.9 球心投影是唯一将所有大圆呈现为直线的投影。恒向线为曲线。从这种意义上说，它和墨卡托投影正相反，后者恒向线为直线而大圆为曲线（图A.4）。注意一个地区的形状和面积随其离中心点的距离增加而失真加大。这种地图不是等角、等积或等距的。
数学投影
上述所有几何投影均可看作是由把地球仪网格投射到圆柱、圆锥或平面上形成的。但是，许多投影却不能按简单的几何形状分类。这些投影由数学公式产生，并且通常是用一种视觉上可接受的方式来展示全球或其中一部分。椭圆形投影是最常见的，但是，为某些特殊目的，还设计出心形、梯形、星形、蝴蝶形和其他形状——有时很奇异——的投影。
地理学家约翰·保尔·古德（John Paul Goode）为统计制图开发的古德等积投影（Goode/'s Homolosine）就属于此类投影。如图A.10所示，这种投影通常以不连片的方式表现，实际上是让两种不同投影（正弦曲线投影和莫尔韦德等积投影）相配合使失真最小，而且让不连片的地图以多条标准经线为中心，使陆地和海洋表面扭曲减少到最低限度。这种能很好表现形状的等积投影得到了广泛应用，尤其是在《古德世界地图集》（Goode/'s World Atlas ）中。
图 A.10 古德等积投影是两种不同投影的结合。它把北纬40°和南纬40°左右的正弦投影和等积投影结合起来。为了改善大陆的形状，每个大陆都置于一瓣当中，接近其中央经线的位置。这种投影还能把各大陆隔断，以完整展示海洋的面积。（Copyright by the Committee on Geographic Studies, University of Chicago. Used by permission ）
理查德·巴克敏斯特·富勒（Richard Buck-minster Fuller）是一位建筑师和设计师，著名的网格球顶（geodesic dome）的发明者，制作了富勒戴马克松投影（Fuller dymaxion proj-ection）② （图A.11）。这种投影由20个等边三角形组成，每个三角形都能沿不同的边连接，借以表现令人感兴趣的陆地之间的关系。该投影把大陆大小和形状的变形降至最低限度。
图 A.11 戴马克松投影。这些等边三角形能够折叠成一个近似于地球的球体。
资料来源：Buckminster Fuller Institute and Dymaxion Map Design, Santa Barbara, CA. The word Dymaxion and the Fuller Projection Dymaxion Map design are trademarks of the Buckminster Fuller Institute, Santa Barbara, California, © 1938, 1967 & 1992. All rights reserved.
古德投影和富勒投影表明，投影能够通过巧妙的处理或调整，达到想要达到的目的。由于大多数投影都是基于数学方法可靠地描述真实的地球网格，因此这种处理的可能性几乎是无限的。把地球仪网格复制到平面地图上，要保持地图的特性，展示各地区的大小和形状，以及椭圆形地图设计，这些方面都影响着地图学家的选择。
有些非常有效的投影，都不是起源于欧几里得几何学，而是以非传统方式进行空间转化。距离可能以非线性方式（按时间、费用、人数，甚至感觉）量度，而表示相对空间关系的地图就可能根据这些数据构建。图A.12就是这种转换的例子。
图 A.12 以乡村音乐歌词表述的美国地图。在本地图的转换中，如果乡村音乐歌词中最经常提及的那些州面积也最大，那么美国看起来可能就是图上所显示的样子。
章节摘要
把地球仪转换成平面地图而不发生变形是不可能的。地图学家业已设计出几百种可能的几何投影和数学投影，以尽可能展示他们想要着重表现的世界的面貌和联系。有些投影高度专门化，局限于某个有限的目的，其他投影则得到更广泛的接受并应用于多种用途。
① Mollweide, or homolographic, projection。旧译毛尔威特等积投影。——译注
② dymaxion是由发明人理查德·巴克敏斯特·富勒根据dynamic, maximum和ion三个词组合而成的新词，词典给出的中译为“最大限度利用能源的, 以最少结构提供最大强度的”。现在国内音译为“戴马克松”。——译注