典型案例
A：“书上说，有精神病的人总是不承认自己有精神病。”
B：“那你有精神病吗？”
A：“别乱说，我怎么会有精神病呢？”
B：“哈哈，这不正说明你有精神病吗？”
逻辑辨析
B在论证A有精神病时使用了一个推理，这个推理有两个前提：一个是A说的“有精神病的人总是不承认自己有精神病”，另一个是A的回答“我怎么会有精神病呢？”此回答等同于“A不承认自己有精神病”。假定B的论证方式能成立的话，其实是可以推断出“所有人都是有精神病的人”这一荒谬结论的，因为所有有精神病的人不承认自己有精神病，而所有没有精神病的人无须承认自己有精神病。倘若你处在A的位置上，你会如何反驳B的论证呢？
B所使用的推理是存在问题的，但其中的问题具有一定的隐蔽性。为了揭示问题所在，我们构造一个结构与之相同的推理：
直角三角形是三角形；
锐角三角形是三角形。
所以，锐角三角形是直角三角形。
这个推理的结论明显是不能成立的。可见，这种类型的推理必须遵循一定的规则。这种类型的推理就是我们常说的三段论。
知识链接
三段论是以两个含有一个共同项的性质判断为前提，推出一个新的性质判断为结论的推理。三段论由三个性质判断构成，这三个性质判断总共含有三个词项，每个词项出现在两个判断中。我们通常把结论中的主项叫小项，结论中的谓项叫大项，只在前提中出现而在结论中不出现的那个项叫中项。小项、大项和中项通常分别用S、P和M来表示。含有小项的前提是小前提，含有大项的前提是大前提。在关于三角形的那个推理中，“锐角三角形”是小项，“直角三角形”是大项，“直角三角形是三角形”是大前提，“锐角三角形是三角形”是小前提，其大前提、小前提和结论的逻辑形式分别为：PAM、SAM、SAP。该推理的逻辑形式至少可以用如下三种方式来表示：
（1）PAM
（2）PAM∧SAM→SAP
（3）PAM；SAM∴SAP
形式（1）中，每个前提的逻辑形式各占一行，前提和结论之间用横线隔开，好处是能充分体现推理的结构特征，不足之处是占用太多篇幅。形式（2）是把推理表达成蕴含式，蕴含式的前件是由前提的合取构成的，结论构成后件，好处是能体现推理和蕴含式间的内在联系，但理解这种内在联系会有点难度，而且某个前提或几个前提本身的逻辑形式很复杂时，会涉及太多括号，不易体现出前提的数量及前提与结论的分界线。形式（3）基本上保留了（1）的优势，又节省了空间。
在三段论中，中项在大前提中既可能处在主项的位置上，也可能处在谓项的位置上，小前提中中项的位置也是如此，由此就形成了三段论的四类不同形式，我们称之为三段论的四个格：
每一格中，中项在前提中的位置是固定的。在第一格中，中项在大前提中做主项，在小前提中做谓项。在第二格中，中项在大前提和小前提中都做谓项，典型案例中的三段论就是第二格的。在第三格中，中项在大前提和小前提中都做主项。在第四格中，中项在大前提中做谓项，小前提中做主项。在三段论的每一格中，就大前提而言，它可以是A判断，也可以是E判断，还可以是I判断或O判断；就小前提和结论而言，也是如此。因此，每一格我们都可以写出4×4×4个不同的三段论形式。但并非所有的三段论推理都是有效的，如典型案例中的三段论就是无效的。
推理有效与否是针对推理的逻辑形式而言的，一个推理形式是有效的是指所有含这种形式的推理全都不可能从真前提推出假结论。有效的推理具有保真性，能保证从真前提推出真结论。判定推理形式是否有效可以用代入的方式，只要找到一种代入使得推理的前提为真而结论却为假，就可以断定所有含这种形式的推理全都是错误的，是无效的。不过这种方式有其局限性，最大的局限在于它只能用于判定推理形式是无效的，而不能用于判定推理形式是有效的。因为当我们找不到使得前提为真而结论为假的代入时，并不能由此就得出结论说：不存在这样的代入。所以，要判定一个推理是否有效还需要有更加精确的方法。
怎么判定一个三段论推理是否有效呢？要回答这一问题需要了解三段论推理的规则。凡符合三段论规则的就是正确的，否则就是错误的。这套规则正是为了保障三段论从真前提推出真结论。
规则1 中项至少要周延一次。
否则就犯了“中项两次不周延”的错误。之所以能由两个包含有一个共同项的性质判断为前提，推出一个新的性质判断为结论，是因为中项在前提中起了中介的作用，把结论中的小项和大项联结起来了。倘若中项在前提中一次都不周延，也就是说大项和小项都没有和中项的全部外延发生联系的话，小项和大项间就不会产生必然的联系，也就不会有必然的结论。典型案例中的推理正是犯了中项两次不周延的错误，因为中项“不承认自己有精神病”在“有精神病的人总是不承认自己有精神病”和“A不承认自己有精神病”中都处在肯定判断的谓项的位置，都是不周延的。中项“三角形”在“直角三角形是三角形”和“锐角三角形是三角形”中也都是不周延的。正确三段论必定满足这一规则。
规则2 在前提中不周延的项，在结论中也不得周延。
否则就犯了“大项不当周延”或“大项扩大”、“小项不当周延”或“小项扩大”的错误。该规则也可以表述为“在结论中周延的项，在前提中必须周延”。三段论的结论是从前提推导出来的，倘若一个项在前提中不周延而在结论中周延，那么它在结论中所断定的范围就超出了前提所断定的范围。这样，从前提出发就不能必然地推出结论，也就不能保证推理的正确性。例如：
中年人是建设祖国的重要力量；
青年人不是中年人。
所以，青年人不是建设祖国的重要力量。
大项“建设祖国的重要力量”在前提中位于肯定判断的谓项，是不周延的，而在结论中充当的是否定判断的谓项，是周延的。正因为如此，才导致由真实的前提推出了虚假的结论。需要注意的是，该规则只是要求不能扩大，倘若某个项在前提中周延而在结论中不周延，并不违背规则。再者，该规则只是针对结论中周延的项而言的，只有对结论中周延的项我们才需要考虑它在前提中是否周延。
规则3 结论和前提中否定判断的数量要相等。
由于三段论由两个前提和一个结论构成，因此，结论和前提中否定判断的数量相等就只会有两种情况：0=0，1=1。前者表明前提和结论中都无否定判断，后者表明结论为否定判断且前提之一为否定判断。这一规则意味着：若两个前提肯定，则结论必肯定；若结论肯定，则两个前提必肯定；两个前提不能都是否定判断；若一个前提是否定判断，另外一个必须是肯定判断；若结论否定，则前提必定有一个而且只能有一个是否定判断；若前提中有一个否定判断，则结论必为否定判断。
规则4 一个正确的三段论只能含有三个词项。
否则就犯了“四词项”或“四概念”错误。例如：
群众是真正的英雄；
我是群众。
所以，我是真正的英雄。
这个推理看似只含三个词项：群众、真正的英雄、我，其实含有四个词项，因为“群众”的两次出现其内涵是不同的，在“群众是真正的英雄”中是就整体而言的，在“我是群众”中是针对个体而言的，也可以说，前者是在集合意义上使用的，后者是在非集合意义上使用的。
扩展延伸
由于在四个格中中项所处的位置不同，三段论的一般规则运用到不同格时会有不同的体现，从而决定了各格的不同用途。如三段论的一般规则在第一格中体现为两点：小前提必须肯定；大前提必须全称。这使得第一格尤其适用于审判工作中定罪和量刑的环节，故第一格又称审判格。第一格还有典型格之称，因为所谓的三段论公理若以三段论形式来刻画，将分别是第一格的两个三段论：
MAP；SAM∴SAP
MEP；SAM∴SEP
前者表示：若断定一类事物的全部具有某种性质，则必定断定这一类事物中的部分也具有这一性质；后者表示：若断定一类事物的全部不具有某种性质，则必定断定这一类事物中的部分也不具有这一性质。运用第一格时常犯的错误是小前提否定，如下面的对话：
父：“你怎么能说脏话呢？”
子：“您不也说脏话吗？”
父：“我又不是学生。”
对话中父亲的思维过程相当于一个三段论推理：
学生是不应当说脏话的；
我不是学生。
所以，我不是不应当说脏话的。
这个三段论违背了三段论的一般规则，大项“不应当说脏话的”在前提中不周延，在结论中周延，犯了大项不当周延的错误。
在实际运用过程中，三段论常以省略的形式出现。这种省略丝毫不影响听者或读者对推理的理解，因为被省略的总是不言而喻的部分。如“没有文化的军队是愚蠢的军队，而愚蠢的军队是不能战胜敌人的”，这里省略了“没有文化的军队是不能战胜敌人的”这一结论。不过省略形式的三段论往往会使推理中所含的错误更加隐蔽，所以，要判定一个省略三段论推理是否有效，我们还必须把它恢复成完整的三段论。
勤思多练
1.指出下列三段论的大项、中项、小项，以及大前提、小前提和结论，并分析三段论是否有效。
（1）一切植物都能进行光合作用，庄稼是植物，所以，庄稼能进行光合作用。
（2）反刍动物都不是食肉动物，狮子是食肉动物，所以，狮子不是反刍动物。
（3）甲班所有运动员都穿红色运动服，跑在最前面的那个运动员穿红色运动服，所以，跑在最前面的那个运动员是甲班的运动员。
（4）菌类植物不是绿色植物，因为绿色植物都含有叶绿素，而菌类植物不含叶绿素。
2.单项选择题。
（1）所有切实关心教师福利的校长，都被证明是管理得法的校长；而切实关心教师福利的校长，都首先把注意力放在解决中青年教师的住房上。因此，那些不首先把注意力放在解决中青年教师住房上的校长，都不是管理得法的校长。
为使上述论证成立，以下哪项必须为真？
A.中青年教师的住房问题，是教师的福利中最为突出的问题。
B.所有管理得法的校长，都是关心教师福利的校长。
C.中青年教师的比例近年来普遍有了大的增长。
D.所有首先把注意力放在解决中青年教师住房上的校长，都是管理得法的校长。
（2）某些经济学家是大学数学系的毕业生。因此，某些大学数学系的毕业生是对企业经营很有研究的人。
下列哪项如果为真，则能够保证上述论断正确？
A.某些经济学家专攻经济学的某一领域，对企业经营没有太多的研究。
B.某些对企业经营很有研究的经济学家不是大学数学系毕业的。
C.所有对企业经营很有研究的人都是经济学家。
D.所有的经济学家都是对企业经营很有研究的人。