典型案例
我们知道，集合是由一些元素构成的，例如，｛1，2，3｝、｛黄山，长江，黑龙江｝、｛x｜x是偶数｝等都是集合。其中，1∈｛1，2，3｝，2∈｛1，2，3｝，3∈｛1，2，3｝，但是｛1，2，3｝∉｛1，2，3｝；黄山∈｛黄山，长江，黑龙江｝，长江∈｛黄山，长江，黑龙江｝，黑龙江∈｛黄山，长江，黑龙江｝，但是｛黄山，长江，黑龙江｝∉｛黄山，长江，黑龙江｝。集合｛1，2，3｝、｛黄山，长江，黑龙江｝和｛x｜x是偶数｝都不是自身的元素。但是也有一些集合，它是自身的元素，例如集合A=｛x｜x是集合，并且x中的元素不少于3个｝，显然集合｛1，2，3｝、｛黄山，长江，黑龙江｝和｛x｜x是偶数｝都是集合A的元素，因为它们3个都是集合，并且其中的元素都不少于3个。同时，A也是其自身的一个元素，因为A是集合，并且它的元素也不少于3个，所以A∈A。
构造一个集合S=｛x｜x是集合，并且x不是自身的元素｝，即S=｛x｜x是集合，并且x∉x｝，显然上述集合｛1，2，3｝、｛黄山，长江，黑龙江｝、｛x｜x是偶数｝都是集合S的元素，但是集合A不是S的元素。现在问：S是否是其自身的元素呢？假定S是自身的一个元素，那么根据S的定义，作为其元素的S是集合，并且S不是自身的元素；假定S不是自身的一个元素，那么又因为S是一个集合，根据S的定义，S又是集合S的元素。这样，导致矛盾。
这就是著名的罗素悖论。
逻辑辨析
所谓悖论指的是从一些大家公认的前提出发，经过严格的逻辑推理，最后得出了不能接受的结论。一个完整的悖论包含三个要素：
（1）公认的前提。在上述罗素悖论中，就包含这样一些前提：集合的基本概念、概括原则（即由具有一些特定性质的个体可以构成一个集合）、一些基本的推理原则等。这些在提出罗素悖论的时代都是为大家认可的一些基本概念或者原则。
（2）严格的推理。在上述罗素悖论中，其推理是一个典型的二难推理。
（3）错误的结论。在上述罗素悖论中，最后推出了一个矛盾。在一个悖论中，其错误的结论，可以是一个矛盾，也可以是一个已经被证明的错误结论。
知识链接
悖论的起源，最早可以追溯到古希腊时期。这个时期最有代表性的要算芝诺悖论了：
芝诺悖论的其中一个形式是说：如果让乌龟先爬一段路程后，那么跑步健将阿喀琉斯将永远追不上乌龟。他是这样论证的：假定乌龟先爬出一段路程达到A1点后，阿喀琉斯开始追赶，当他到达A1点的时候，乌龟已经爬到前面的A2点去了；当阿喀琉斯追赶到A2点的时候，乌龟已经爬到前面的A3点去了；当阿喀琉斯追赶到A3点的时候，乌龟已经爬到前面的A4点去了。这样的过程可以无限地进行下去，虽然阿喀琉斯跑得很快，可能不断地逼近乌龟，但是他却永远追不上它，他与乌龟之间总有一段距离需要跑。可是，根据常识，阿喀琉斯可以很快地追上乌龟。这样，导致矛盾。
这就是著名的芝诺悖论。
公元前4世纪，人们又提出了著名的“说谎者悖论”。所谓“说谎者悖论”的大意是：
这句话是假话。
问：上述这个语句是真的还是假的？如果上面这句话是假的，那么这句话已经说了它是假话，所以它是真的；如果上面这句话是真的，那么根据这句话所说的，它又是假的。
后来人们还据此提出了另一个悖论，即“卡片悖论”：
一张卡片的正面写道：“这张卡片背面的句子是真的。”这张卡片的背面写道：“这张卡片正面的句子是假的。”
问：这张卡片正面的句子是真的还是假的？
假设这张卡片正面的句子是真的，那么根据这张卡片正面句子的内容可知，这张卡片背面的句子是真的，再根据这张卡片背面句子的内容可得出：这张卡片正面的句子是假的。
假设这张卡片正面的句子是假的，那么根据这张卡片正面句子的内容可知，这张卡片背面的句子是假的，再根据这张卡片背面句子的内容可得出：这张卡片正面的句子是真的。
为了保持思维的一致性，人们总是想方设法消除悖论。消除悖论的方式有多种，对于一些严格的理论悖论，如罗素悖论等，需要认真研究该悖论所涉及的理论细节，从中找出导致悖论的原因，从而消除悖论；而对于一些简单的悖论，则比较容易消除，如理发师悖论，说明了理发师根据他的规定，不管给不给自己理发，都将陷入窘境，他可以通过废止这条规定来避免悖论，也可以将自己设定在服务对象之外来避免悖论。
我们在日常思维或者理论创新之中，要时刻注意避免悖论。
扩展延伸
造成悖论的原因是多种多样的，因此历史上出现了各种形形色色的悖论，这些悖论在不断地启发着人们的思维，促进人们不断地进行更加深入的思考。下面我们再列举一些常见的悖论，供大家思考：
（1）意外考试悖论
一位老师对所教班级的学生说：下周一至周五的某一天将举行一次考试，但考试具体安排在哪一天将是一个意外。于是，这个班级的学生做了以下推理：考试不可能在周五举行，因为如果考试在周五举行，那么考试就不可能安排在周一至周四，既然周一至周四都没有安排考试，那么学生在周五前就知道考试必定在周五举行，所以这不是一个意外。但是，如果考试不能在周五举行，那么以同样的理由，它也不可能在周四举行。因为如果考试在周四举行，那么学生在周四就知道考试没有在周一至周三举行，根据前面的推理又知道考试不可能在周五举行，所以学生在周四前就知道考试必定在周四举行，所以这也不是一个意外。如此推理下去，最后学生断定考试不可能在下周的某一天举行。但是，当考试在下周的某一天真的举行时，比如说在周二（实际上可以是周一至周五的任何一天），这对于考生来说是一个极大的意外。
（2）绞架悖论
唐·吉诃德的仆人桑丘跑到一个小岛上，成了这个岛的国王。他颁布了一条奇怪的法律：每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题：“你到这里来做什么？”
如果回答对了，就允许他在岛上游玩，而如果答错了，就要把他绞死。
一天，有一个胆大包天的人来了，他照例被问了这个问题，而这个人的回答是：
“我到这里来是要被绞死的。”
请问桑丘是让这个人在岛上玩，还是把他绞死呢？
如果让他在岛上游玩，那就与他说的话不相符合，这就是说，他说的“我到这里来是要被绞死的”是错话。既然他说错了，就应该把他绞死。
但如果桑丘要把他绞死，这时他说的话就与事实相符，从而他说的就是对的，既然他答对了，就不该被绞死，而应该让他在岛上游玩。
（3）协同攻击悖论
A、B两国军队打仗。A军占据两边山头，B军驻扎在两山之间的峡谷里。东山A军（称为A1）指挥想约西山A军（称为A2）联合向B军发起攻击，但无现代化通讯工具可用，唯一的办法是派一名通讯员穿过B军阵地去通知A2的指挥官。于是通讯员x被派出去了。在x回来之前，A1指挥官是不会发动攻击的，因为他不知道x是否已经把信送到。后来x顺利回来了，并报告说，信已经送到。这时，A1仍然不敢发动攻击，为什么呢？因为A1指挥官知道A2指挥官此时尚不知道x是否已经回到东山，即“A2指挥官不知道A1是否已经知道A2指挥官已经收到信”（把引号内的判断记为P1），因而A2指挥官不敢发起攻击。A1指挥官知道P1，所以A1指挥官也不敢发起攻击。于是A1指挥官必须派x再去一次西山，告诉A2方面：“A1已经知道A2指挥官已经收到信”（把引号内的判断记为P2），此时，A2指挥官敢于发起攻击吗？不敢。因为他不知道A1指挥官是否知道A2指挥官已经知道P2。因此，他还得派x再回到东山。如此反复，无论通讯员在东山和西山之间往返多少次，A1和A2指挥官都无法完成协同攻击。但是在现实世界中，完成协同攻击的事例不胜枚举。
实际上，在上述协同攻击悖论中，即使使用现代通信工具代替通讯员x，协同攻击仍然无法完成，其道理是一样的。
勤思多练
试对上文中提到的悖论进行分析。