典型案例
某次，日本新日铁公司寄送我国宝山钢铁公司一箱材料，清单上写明是六份，但开箱清点只有五份，其中一份不知去向。日方坚称：“我方提供给贵方的材料，装箱时需要经过仔细检查，不会漏装。”宝钢则说：“我们开箱时有很多人在场，开箱后又经过几次清点，是在确实判定材料缺少一份后才向你们提出交涉的。”双方各执一词，相持不下。
检方经过认真听取双方意见后，列举了三种可能：（1）日方漏装；（2）运输途中散失；（3）我方开箱后丢失。然后逐一分析，排除了后面的两种可能。即：如果是在运输途中散失的，那么木箱肯定有破损；但现在木箱完好无损，所以，运输途中散失的可能性没有。如果材料是我方开箱后丢失的，那么木箱上所印的净重量就会大于现有五份材料的重量，而木箱上现在所印净重量正好与五份材料的净重量相等，所以，材料也不是我方开箱后丢失的。检方最终确认，材料一定是日方漏装了。
逻辑辨析
上述案例中，检方总体上运用了排除法来进行论证。首先，围绕材料丢失情况列举出所有逻辑上的可能性，即日方漏装、运输途中散失和我方开箱后丢失。然后，通过人们的知识，排除其他的可能情况，最终得到需要确认的可能情况。其中运用了否定肯定式的选言推理，即：
或者A或者B或者C；非B；非C；所以，A。
检方在排除其他的可能情况的过程中，还使用了两个充分条件否定后件到否定前件的假言推理。一个是：如果是在运输途中散失的，那么木箱肯定有破损；但现在木箱完好无损；所以，运输途中散失的可能性没有。
另一个是：如果材料是我方开箱后丢失的，那么木箱上所印的净重量就会大于现有五份材料的重量；而木箱上现在所印净重量正好与五份材料的净重量相等；所以，材料也不是我方开箱后丢失的。
这两个推理都可用公式表达为：
如果A，那么B；非B；所以，非A。
知识链接
根据论证过程不同，可以把论证分为直接论证和间接论证。直接论证是用论据从正面直接论证论题的真实性的论证方法。一般进行的论证都是直接论证。中学里的数学定理证明大多数采用的都是直接论证或者直接证明。
间接论证不是直接用论据从正面论证论题为真，而是通过论证与论题相矛盾或者相关的其他论断不能成立，从而间接确定原论题为真。间接论证主要包括反证法（假言证法）和排除法（选言证法）。
反证法是一种间接论证方法，它是通过论证与原论题相矛盾的论断为假，然后根据排中律确定原论题为真的论证方法。由于反证法需要运用到假言推理，所以，反证法又可以称为假言证法。
排除法是另外一种间接证明方法。它是通过论证与原论题相关的所有其他可能的论断都不成立，从而确定原论题为真的论证方法。由于运用排除法需要运用到选言推理，通常也将这种方法称为选言证法。
扩展延伸
直接证明可以根据其中所运用的推理形式，区分为演绎的、归纳的或者类比的直接证明。作为归纳的直接证明，可以包括典型案例分析证明法、完全或者不完全归纳证明法、对比分析因果论证法。
典型案例分析法是用真实的事例来进行分析说明的直接论证方法。比如：
信念的力量是非常巨大的。两千年前的汉代著名史学家司马迁，因为“李陵事件”下狱，受了宫刑。应该说，人世间没有比这更大的耻辱了。可是他没有消沉，忍辱负重，披肝沥胆，专心著述整整11年，终于完成了《史记》这部52万字的鸿篇巨制，这需要多么大的毅力啊！假如他不是为了“究天人之际，通古今之变，成一家之言”，恐怕早就自尽身亡了。
完全或者不完全归纳证明法就是通过列举一类事物的全部或者部分情况来证明论题。比如：
贯彻学生守则使我校学生精神面貌发生了很大的变化，调查显示：初一各班同学贯彻学生守则之后，尊敬老师和加强团结方面有了显著的进步，初二各班同学迟到、早退、旷课现象明显减少，初三各班同学遵守课堂纪律的自觉性有了很大提高；高一、二、三各班同学也有同样的变化。可见，我校自贯彻学生守则以来，各班都发生了可喜的变化。
对比分析因果论证法，就是根据两个或者两类事物属性的直接对照来证明论题的直接证明方法。前述《孟子》中《生于忧患，死于安乐》一文就采用了这种论证方法。
反证法的第一步是设反论题真，然后由反论题为真推出荒谬的结论，所以假设反论题为真是不能成立的，最后通过排中律确定原论题为真。
反证法可以用公式表示如下：
求证：p。
证明：
令非p（非p是与p相矛盾的论题）成立；
如果非p，那么q；
非q；
所以，并非非p（充分条件假言推理否定后件式）；
所以，p（排中律）。
比如，下面的例子采取了反证法来进行论证：
（1）任何一个正整数，除了可以被1和它自身除尽外，再不能被其他整数除尽的数叫作素数。那么，素数一共有多少个？欧几里得回答说：“有无穷多个。”如果素数不是无穷多个，而是有穷多个，那么，就可以把它们都写出来：P1，P2，P3，…，Pn，除此再无更大的素数了。然而，P1×P2×P3×…×Pn+1也是一个素数啊，它比P1，P2，P3，…，Pn都大，这就与前提发生了矛盾，因此，认为素数是有穷多个的假设是错误的。所以，“素数有无穷多个”是正确的。
（2）中国在收回香港的过程中，进行了非常艰难的谈判。为了对付具有“铁娘子”之称的撒切尔夫人，邓小平拿出了他那“钢铁公司”的谈判方法。其中，他用了大量的反证法来进行论证。他说，如果我们到1997年还不能收回香港，我们就是李鸿章，我们就得下台，所以，香港是我们必须按时收回来的。邓小平的谈判手法和严密论证，迫使撒切尔夫人最终不得不让步。
排除法的第一步是要构造一个包括原论题在内的选言论题，然后论证除了原论题外其他论断均不成立，从而根据选言推理的否定肯定式确定原论题为真。
选言证法可以用公式表示如下：
求证：p。
证明：
令p或q或r成立；
非q；
非r；
所以，p（选言推理否定肯定式）。
例如，下面的例子采取了排除法来进行论证：
对待历史文化遗产应采取批判继承的态度。对待历史文化遗产的态度，要么是全盘继承，要么是虚无主义，要么是批判继承。全盘继承，不分精华和糟粕，不能推陈出新，不利于文化的发展。这种态度是不可取的。虚无主义，割断了历史，违背了文化发展的规律，同样不利于文化的发展。所以，只有批判继承，去其糟粕，取其精华，才能促进文化繁荣。
1.试分析下列论证中所运用的方法，并指出这些方法运用得是否正确。
（1）问：“有一个三角形，它的三边分别是：3、4、5，这是个什么三角形？”答：“这个三角形是直角三角形。因为从毕达哥拉斯定理中得知，凡直角三角形都是斜边的平方等于其他两边平方之和，这个三角形的斜边平方等于其他两边平方之和。”
（2）文学艺术也要实行民主。如果没有不同意见的争论，没有自由的批评，任何科学既不能发展，也不能进步，文学艺术也不例外。
2.单项选择题。
（1）雌性斑马和它们的幼小子女离散后，可以在相貌体形相近的成群斑马中很快又聚集到一起。研究表明，斑马身上的黑白条纹是它们互相辨认的标志，而幼小斑马不能将自己母亲的条纹与其他成年斑马的条纹区分开来，显而易见，每匹母斑马都可以辨别出自己后代的条纹。
上述论证采用了以下哪种论证方法？
A.通过对发生机制的适当描述，支持关于某个可能发生的现象的假说。
B.在对某种现象的两种可供选择的解释中，通过排除其中的一种，来确定另一种。
C.论证一个普遍规律，并用来说明某一特殊情况。
D.根据两组对象有某些类似的特性，得出它们具有另一个相同特性。
（2）相对论的创立者爱因斯坦是左撇子，发明家富兰克林和科学家牛顿是左撇子，达·芬奇、米开朗基罗、毕加索和贝多芬也都是左撇子。这表明，创造性研究是左撇子独特的天然禀赋。
以下哪项陈述是上述论证所依赖的假设？
A.自福特以来的美国总统，除少数几位外都是左撇子。
B.左撇子突出的创新研究能力并不是由教育和环境等后天因素决定的。
C.20世纪初，中国的父母还在煞费苦心地矫正孩子惯用左手的“坏毛病”。
D.左撇子具有一定的遗传性，例如，英国女王伊丽莎白和她的母亲都是左撇子。