《古今图书集成历象汇编历法典》第八十六卷_古今图书集成历象汇编历法典全本免费在线阅读

欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第八十六卷目錄

　儀象部彙考四

　　新法曆書二〈渾天儀說二〉

曆法典第八十六卷

儀象部彙考四

《新法曆書二》

渾天儀說二

前以「天行之效，顯儀」之理。此復「依天行之法，晰儀之用，大端以求三曜。」〈日月星〉為要領矣。至分論之，或依本行與黃、赤二道相較，彼此得經緯度；或依「宗動之行與地平、天頂及子午等圈相較，求諸曜出沒之時。又或依方位地平高度彼此相較，求星距太陽遠近，與出沒之先後，伏見之期限」，總於本儀得全用焉。但恆星距黃道內外甚遠，不能盡載圈上；又或光色微渺，未足測景。〈以景定度測時〉則自有天球之實儀在借之以資本用。雖「虛、實」兩儀大意相同，而推之亦略有異；此所以並論天球也。即本卷諸用尚多缺略，然欲求其難，當自其易者始；欲求其煩，當自其簡者始；則從茲而詳及之，姑以俟之他篇。

安儀

「凡測天諸儀，有黃、赤道等圈，必以本圈正合天上所有之圈為準。如在天有過頂者，儀中相當圈宜豎立以應之。」有距頂向南北東西者，儀中相當之圈亦宜向南北或東西。地平皆與天上之圈合，則日月諸星行度，為儀圈所得者，即天上諸曜實行之度分也。今渾儀雖未盡乎測天，然能以日景考查時刻，並求各方北極出地之度，及太陽高弧距地平等用則必一切方位與天脗合。先以兩極依出地度安定，徐以羅針所得，正其南北。又以垂線取準地平，任置臺几之上，以聽次第用焉。

求北極出地度

「北極高庳，隨地東西，同南北不一，此乃晝夜長短，寒暑異同，日月諸曜距天頂遠近之所繇也。」法先將本儀取準地平，考正南北，隨以游表於黃道上定住太陽本日躔度，轉儀切子午圈正面，候太陽當正午之時，視表周無景，即本北極高度已定。而極高之度必為子午圈自地平至極中之弧也。若表尚射景，漸運子午圈於架內，或上或下，展轉那移，至表無景乃止，而因以得北極出地之度。

或先設象限等器，於正午時測定太陽出地平高度。次於本儀黃道上，查取本日太陽躔度，置子午圈正面下，隨運儀令自地平至躔度間，子午圈之弧，與前所測之度等，則自北極至地平度分，即本北極出地度分。或不候午正，即將游表置太陽本躔度，與時盤午正初刻，正對子午圈。後用日晷等器測定時刻，以所得時轉儀，令居子午圈下後，視表無景。〈如射景將子午圈上下那移無景乃止〉則子午圈自地平至極中之弧亦準，可得本北極高度。

或以星求之，即近極諸星中。〈因恆不沒〉《任測》一星，先於最庳處識所測高度，待旋至最高處復測之，所得高度，加前測之度，總而半之，為本北極高度，此常法也。今不拘出沒或距極遠近之星，一測其至天中之高。〈另用一器〉即《轉球》。〈天球〉令本星居子午圈下，較儀上地平與前所測等，則本儀北極亦自距地平為弧，因得本方北極高度。或依所測天中星高度，即球上查其本星之赤道緯，以加〈距南用加〉減。〈距北用減〉於至中之高度，得本赤道高。因得本北極高度。如測大角高七十一度，球上查緯，得距北二十一度。宜高度內減之。〈因距北故〉存「五十度為赤道高應。」四十度為順天府北極出地高度。

求太陽躔度

太陽依黃道右旋，每日約行一度，謂之「躔度。」法先依本北極出地高，令地平與子午圈如法安置。候午正初刻，將遊表以直角切子午圈上下試之，遇表無射景乃止。轉儀視黃道正居表下之度，即太陽本日所躔度。

又一法，用象限等儀測太陽距赤道度，因得其距南或北，隨於本儀子午圈上點定作識，乃令全儀運轉視黃道度正交，其點即本日太陽躔度。但距赤道等度與子午圈相交之點，黃道可有二處，必依晝漸長或短求之，即得其度在冬夏至之前或後也。假如崇禎七年七月初八日壬申，曆局午正，測得太陽高六十八度一十五分，因得距赤道北一十八度一十分。

《北極高》三十九度五十五分，即赤道高五十度○五分。

依之作識，得大梁宮二十一度，或鶉火宮九度，俱與所識點相交。第此時夏至已過，晝漸短，即知所得必為鶉火宮度。

求恆星黃道經緯度

恆星較黃道有經有緯，而共以黃極為主，必依黃道右行，任從冬至或春分起算。為之經本道南北為緯法。以高弧切球上，使從黃極過星所至經度，即本星之黃經度。所居黃道上及星間之弧，即黃緯度。但星距北，必高弧安之。黃北極，星距南，高弧亦安黃南極。如貫索大星距黃道北，以高弧從黃北極過本星，視至大火宮六度有奇，即《貫索》大星之黃經度。又自黃道北至本星處，約得四十四度三十分，即其黃緯度也。若先得星黃經緯度，欲查球上星所當在之處，亦用高弧，依球上本星黃經度，因之安高弧初度，令末度至黃極中。〈黃極南北依星距南或北〉任黃道內外順高弧數星緯度所止之點，即星居球上之處。假如崇禎元年測定，心宿中星，在黃道析木宮四度三十六分，距南四度二十七分，依此度分安高弧至南黃極，從球上黃道數起，得本距度之限，即心宿中星所居之處。

求太陽赤經緯

太陽依黃道行近，考定冬夏二至，距赤道南北最遠之處，為二十三度三十一分三十秒。迨二至前後每日相距不等，而二道又以斜交，惟分至之點彼此得同經，餘俱不得合一也。今求緯度，法令本儀轉任取黃道若干度，正合子午圈下。即於本子午圈視兩道間所容之弧，得數即黃赤相距之緯也。求經度，亦任取春分或冬至起筭，視黃道度在子午圈為限，順數其赤道圈之度，即黃道上之赤經度。若依地平求之，必先安儀，使兩極與本地平齊。即用地平當子午圈，則赤經弧必過赤極，與赤道以直角相交，而東西所限。赤緯弧亦為本圈南北所量。雖子午圈本當過極，諸圈與赤道正球相交，而地平與正球亦不異。是故所指度分，即得赤道經緯度分。

求恆星赤經緯

法以赤極為準，必順十二宮為經，赤道南北為緯。先轉其球，以所求星切子午圈下，後視赤道是何度分，此即本星赤經度。又視赤道與星在子午圈上所開之弧容何度分，乃其星之赤緯度。如設狼星居子午圈，得本圈下赤道度。自夏至起算，約七度三十分，即狼星赤經度分。又赤道南距狼星一十六度，乃即本星之赤緯度。求五星赤經緯法與同。但先以黃經緯點星於球上，如法使《高弧》自黃極中至黃道本經度過星處，即依高弧之黃緯點球作識後轉球，令其點合子午圈，亦可得赤經緯也。若先算定恆星赤經緯於球上，考其處，即從春分依赤道順查星經度，移至子午圈下，乃本圈上南或北。〈依星距〉查其緯度，用點作識，即其星所居之處也。如崇禎元年心宿中星，得赤經二百四十一度四十三分，以本度分轉球至子午圈，因星緯度距南二十五度三十分，隨以此度正對子午圈下，作�必指其本星之實處。

求黃道每度赤道緯

法任取黃道何度，移置子午圈正面，即從黃道中線至赤道上。視本圈所得若干度，為黃道度之赤道緯。〈南或北依所求點得所距〉若從北極起算，亦於子午圈，從極數至所求之點，亦是。如求清明初度緯，得其距赤道北約五度，距北極八十五度；寒露初度，距赤道南約五度，距北極九十五度。餘俱倣此。

求黃道各弧出沒之時

黃道上出沒，較赤道圈之出沒恆異，蓋赤道等弧或正球、斜球，

南北兩極：并在地平，為正球。一極出地平上，一極入地平下，為斜球。

所應出入之時，恆如一黃道，不然，遇正出或遲，斜出反速，每日早晚先後不等，隨地有變。試以最長之晝，其見出止六宮，最短之晝亦為六宮。如太陽在鶉首初度。〈晝長時〉任北極高若干，使本度切儀東地平，漸轉至正午，必見壽星初度東出矣。復轉至西地平，即星紀初度東出，總得黃道半圈，為其所出沒也。又如太陽躔星紀初度〈晝短時〉本儀東地平轉至正午，為降婁初度。東出，至本躔度西入，則東出者必鶉首初度本等。自早至晚亦得半圈，是黃道與地平皆大圈相交，必各平分故耳。法用赤道圈之度，或十五、三十、四十五、多寡等弧以限定時刻，為黃道所同出入，則黃道不拘大小，弧總在其時內行者為是。假如北極高四十度，依本地求降婁全宮之升度，應時若干，先以其初度在東地平因，并得赤道初升度。〈二道相交為春分即各升度之初界〉轉儀使出至本宮末度，即見東地平。指赤道上一十八度強，化為時，約得四刻一十二分，即降婁宮全升之時也。又求其入地平時，亦以本初度切西地平，試令本宮之度盡入，得赤道同入之弧，為三十七度四十餘分，化為時，得十刻有奇，即本宮全入之時，與先所升之時大相懸遠。欲用《時盤》求之，即其初度之或「出或入，視子午圈所指何時轉儀，至全宮之出入已盡，復視時盤與子午圈正切者，得時刻前後差若干，即黃道出入之總時矣。」

因以度數變為時，而即以時變度數法，總度分秒各數，以四相乘，所得為次行時之小數。如乘度，得時之分；乘分，得時之秒。試以一十六度二十分化為時，以度乘四，得六十四分；以二十分乘四，得八十秒，總為一時○五分二十秒。又總時分秒各數，以四相除，所存為次行度之大數。故以時之微，得度之秒；以秒得分，以分得度，以時得六十度之弧因之，推表或度在初行，可當分，亦可當秒，則時分秒在次行，以度數變為時數。或時在初行，度次之，則以分、秒微在初行，度分秒俱在後行，以時數反變為度數。若查表總數初行不盡，即取其近小者，以餘數再查之。故列表如左：

度數變為時表〈此下以時反復查度數〉

求兩星出沒之距時

凡兩星在赤經度上同出沒者，此正球也；斜球不然。蓋距赤道北，其較赤道同度之星，必先出後沒；距南者反是。故求星出沒之距時，惟以定其斜升度為先。法。依本北極高安球，任取一星居東地平，並識赤道同居之度，即本星斜升度。〈或從春分或從冬至起算其法一〉復取一星，亦如前。查其斜升度，乃以後得數受減前得之數，若不足減，則借全周減之。餘赤道弧為二星東出，其間相距之弧化為時，即二星前後之距時也。求星之西入，亦然。假如北極高四十度，移畢宿大星于東地平，得赤道同出為四十九度三十分，即本星依本地斜升度與井宿距星相較，亦令其居東地平，得赤道同出為七十度；以減前度，餘二十度三十分，為二星相較之弧化時，得五刻半，為二星東出之距時。若星入時，求法同，所得距時異。如畢宿大星至西地平，得赤道同入為七十八度三十分。其井宿距星同入之赤道度，為一百一十一度三十分；相減餘三十三度，乃得八刻一十二分，為二星西入之距時：

求星出沒與在地平上之時。

論恆星之出沒難以定時者，繇太陽與之遠近，逐日不一，而在地平上之總時，則百餘年後其本行漸變其赤緯，而時亦與之不同矣。若五星出沒，隨太陽本行亦無定，而在地平上之時，則因本行恆出，赤道內外亦因之有異。法依本北極高安球，將太陽本躔度與時盤午正初刻正切子午圈，下次轉球，任取一星居東地平，即于時盤得其星出之時刻。復轉球令其星至西地平，亦如前得其星入之時刻。通計前後，因得其在地平之總時。或欲密求，應依赤道度法，以本日躔度切子午圈下，並識同居圈下之赤道度。次轉球令星至各地平。〈東或西〉復視此時赤道交子午圈之度為何度，兩赤道度以後，得數受減。前數不足，借全周減之，餘為星出沒之度。變之即得若干時刻。假如北極高四十度，夏至日求畢宿大星出沒之時，依法鶉首初度在子午圈，并得赤道度為九十度。移本星至東地平，即赤道三百二十度，居子午圈，以減前九十度，餘二百三十度，化得一十五時。〈小時〉二「十分」，即寅初一刻○五分。〈午正起算〉「為夏至日畢宿大星之東出也。」又移本星於西地平，得赤道在子午圈為一百六十九度。減前九十度，餘七十九度，化得五時一十六分，即酉初一刻○一分，為本日畢宿大星之西入。第此法亦就恆星近日之本行為然也。若執此以求前後數十年或數百年，則因其本行有變，與太陽相較，必不能合，其出沒亦必自「異。大率百年中依黃道行，約差一度三十五分，每年差五十一秒，恆依此數，前減後加，則得其正矣。」論五星，其在地平上之時，必先依本經緯度識之球上，而後可以如法查取，與前同。

求黃道升降度

黃道每度分出入所得赤道在地平度分同出入者，謂之升降度《法。轉儀》，任黃道某度在東地平，得同居東地平之赤道度，即其升度。又本黃道度在西地平，得同居西地平之赤道度，即其降度。然惟正球不異於赤經度，而斜球則異，愈斜則二道之度其差愈遠。如實沈初度距春分六十度，試令正球在東地平，得赤道同居約五十八度。如以斜球使北極高三十度得赤道同居約四十七度；北極高四十度，赤道止居地平四十一度。此皆斜球中實沈初度之升度也。是赤道較黃道恆少。如北極高三十度，得赤道與實沈初度之同入約七十度；北極高四十度，則赤道同入約七十五度。此其斜球之降度，是赤道較黃道反多也。至欲以赤道升降度，反查黃道同。出入之度，法同此。

求黃道見與不見之弧

依北極出地異同，故黃道隨處有先後，全見或恆見與恆不見之弧，因太陽左行，遂以出入分晝夜，此常法也。然亦有出而不入、入而不出之時，何也？北極高度較二道相距最遠之餘弧，〈二道相距二十三度半餘弧為六十六度有奇〉或小、或大，或等不同。小則黃道諸度，每日盡為出入，無恆見與恆不見之弧，而晝夜並得滿二十四小時。若極高與二道相距之餘弧等，即天頂距極與二道相距亦等。必其天旋行能令冬夏二至與地平齊，故「太陽在夏至之日常不入，得晝長二十四小時而無夜。太陽在冬至之日常不出，必夜長二十四小時而無晝。設北極高弧，大於二道相距之餘弧，即極與天頂近。」夏至左右之弧，黃道常隨天旋，不入冬至左右之弧，黃道常隨天旋，不出則得恆見與恆不見之弧。而本地晝夜長短，每至數月。試令本儀，北極高七十五度，則見黃道，自大梁宮一十度至鶉火宮二十度，為恆見不入之弧。太陽此間依宗動行，雖數十次周天，恆晝無夜。又自大火宮一十度至元枵宮二十度，為恆不見之弧。太陽此間行數十次周天，長夜無晝。但太陽近地，平時每為蒙氣中映之，使起入得地遲，出反得速，宜以加減均之乃可。〈見日躔曆指〉

求星當見之時

依北極出地高各方，有恆見、恆不見之星。蓋近北極星常在地平上，而近南極星則又在地平下，此定理也。惟往往出沒諸星，每較太陽遠近以為隱見之限。今欲求其見在何時，并其時刻若干，則如法安球。〈依本極高〉任取一星至東地平，並識其黃道同居地平度。復查太陽本躔度，因其距之遠近，定本星之出見。假如畢宿大星在東地平，因得黃道之實沈十度同出，其西沒必為析木十度矣。設使日躔在實沈十度，即本星曉出昏入，通不可見；設析木十度為躔度，則本星反昏出曉入，終夜恆見矣。故求其當見之時，必先以躔度與時盤午正相對，隨查星之大小等第。〈凡六等〉以定其距日光若干，為見不見之限，乃準如畢宿大星，為第一等距日光。〈距日光與距日不同〉十度。其見限也，設太陽躔鶉首初度，北極高四十度，令本度正對時盤午正，得本星出地平。為寅初初刻。漸轉球至太陽將近地平。其未出約差十度。〈以正對星紀初度未入前尚高十度可考〉得寅初一刻，此後不復見星矣，則本日得見畢宿大星者僅一刻。又設日躔在鶉首十五度，距本星更遠。依法轉球，得本星東出，為丑正初刻。至太陽近地，平其不見星之時，為寅初二刻。總計見時約六刻。或太陽去之愈遠，其見時愈多，漸可一夜恆見也。

求日月諸曜出沒之廣

赤道交地平之處，為正東正西，而從此左右之地平，則限諸曜出沒之廣者也。法依《極高安儀》，以太陽諸曜至地平相交之處為號，限弧即在東或西，可得出沒之廣。假如太陽躔實沈十五度，北極高四十度。轉儀令十五度至地平，得偏北二十九度強，東西皆同。此即本度依本地太陽出沒之廣也。蓋廣弧大小不一，其緣有二：一緣黃道斜交赤道，因相交之點前後愈遠，必得本弧愈大；一緣地平所得有正球、斜球。〈正斜球解見前〉因正即廣《弧》小，因斜即廣弧大而愈斜愈大，如北極高二十度得鶉首初度，出沒廣二十四度。極高四十度得鶉首初度，出沒廣三十一度。使極高五十度，即本度廣三十七度。此皆斜球也。若正球，則本度出沒之廣，大概不外二道相距之弧。

「以出沒之廣」，求本黃道度及北極高度，

夫出沒之廣，或以測得，或任設若干度，而以之求本黃道度。法，先定度於地平圈，依其在正東西之距南或北，令本儀以黃道之中線正交其度，乃識黃道何度，即本黃道出沒之廣之度也。欲求北極高度，亦先於地平圈查本出沒之廣，所得度，用點作識，遂令儀轉使本太陽躔度正交本地平度。蓋必相交，然後儀上之極高，正合天上之極高，否則將子午圈低昂試之，必躔度與地平所識度脗合乃止。

求太陽地平經度

凡圈有經緯者，必以縱距為經，橫距為緯。若諸曜不正行於圈下，即隨其距等之圈可當經行。今諸曜較地平，以高度相距得緯，而最距之極即天頂。以南北距得經，而初界在正東、正西，末界在正南、正北，雖諸曜出離地平，而經度仍歸之。法如黃道上太陽，本躔度未有高度，必令之至地平，因求地平經度，與求出沒之廣同。設太陽距地平有高度，則依前法求高度若干，以高弧過其度下至地平，即限其地平經度。或在東西之南，若北，如北，極高四十度，日躔在實沈初度。設本度在西，地平高五十度，以高弧過之，得其至地平距正西南約二十三度，即實沈初度依本高度及極高之西地平經度也。若依時刻考之，先以本躔度正對午正，《隨轉儀》令所得時，切子午圈下，乃以高弧過其躔度如前。查地平經度，假令前得二十三度。今以申初初刻求之，所得復同。

求太陽出地平高度

日月諸曜東昇漸至天中，所得高度，不獨前後時有異，即前後等逐日相較，亦皆異者，乃其依黃道行，去赤道內外遠近恆不一故也。法以本儀黃道上本躔度正切子午圈下，其正切之處至地平圈，即得太陽午正初刻之高。因視赤道此時交東地平度，依所得度東入十五度，隨將高弧過本躔度下至地平圈，而《高弧》所載度分，即太陽午初初刻之高度。若以前度出十五度，必《高弧》過本躔度，至西地平，顯太陽未初初刻之高。餘時俱倣此。欲逐刻求之，即以三度四十五分出入赤道為準。蓋躔度之交，地平距午前後等，得高度亦等。假如北極高四十度，日躔為鶉首初度，移居子午圈，得其距地平，約高七十三度半，此時則秋分初度。交東《地平》使依赤道入三十度，即巳正，而高弧過躔度至地平為五十七度三十餘分，乃太陽在巳正之高度。或出三十度，即未正，而躔度西距地平所得高度，亦五十七度三十餘分。設太陽躔星紀初度，以本度居子午圈，得其地平高二十六度三十分，乃春分初度。在東地平使入三十度為巳正，測得高度二十三度四十分。轉儀往西，如前出三十度，得未正高度相等。若用時盤求之，免查赤道度。必先以盤上午正及躔度，如法居子午圈，任儀左右。轉至本時，交子午圈，亦如前，得高度矣。或更以日景求高度，與求時刻無異。〈見後段〉但遇表無景處，即過高弧以定日高焉。

用渾儀成高弧表

「凡製長圓、地平象限等日晷界時刻及節氣線，必依高弧得所以然。」法依本北極高正儀，隨將黃道上本節氣躔度，使之從子午圈或左或右，任取一刻或四刻為限，而每限必與高弧相交，因得太陽在某節氣某日某時刻高度若干。其時刻在午正前後等者，得高度亦等。故求其左，不必復求其右。試以夏至初度北極高四十度，得其午正高七十三度三十分，未初高六十九度一十二分，未正五十九度五十一分，戌初高四度一十五分。午前及他節氣俱倣此，但距兩至等，得同時高度亦等，如芒種與小暑，小滿與大暑，甚至大雪與小寒之類是也。因極高四十度，列表如左：

圖

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求恆星地平經緯度

恒星較地平經緯，與太陽地平經緯不異，俱以南北得經高度。得緯法，先依極高安球，隨以太陽躔度移居子午圈，並與時盤午正脗合，任取某時刻于盤上，以之正對子午圈後，令高弧與所求星相交，即得球上本星本時所向方位，及所距地平遠近之度。如北極高四十度，太陽躔星紀初度，如法正對時盤。設寅「初求角宿南星之地平經緯」，乃以盤上寅初初刻對子午圈，以高弧過其星，得交度一十七度，為本星當時之高度，即本地平緯也。因而高弧偏東南二十七度為本星方位，即本地平經也。復依此視球上方位，得氐宿東出五車偏西，軒轅距午略東，俱一一與天上相應。即更以象限等器測星之高，用高弧試于球上，鮮有不合者，則雖大象森羅，而此器殆最為彰著者矣。

求星前後合伏之時

諸星會合太陽，前後伏見，必依其體之大小，而本行遲速，則又須時多寡不一。蓋體大易顯，雖近太陽亦得見。體小必距太陽遠始見，稍近即伏矣。遠近約有定限，如土星限一十一度，木星十度，火與水十一度有半，金星五度。至恆星則依六等定限，約為十度、十二度、十四、十五、十六及十七度。此外最小者惟暗乃見，而最大者即更近亦得見矣。論遲疾，因五緯右旋，各有順行、退行之異，伏見難以時限，而恆星則共一本行，獨以形體分別其見伏之時耳。若依黃道，以星與太陽相距定合，伏則誤也。蓋黃道升降有斜正能變其星見之時，雖設距度同，其見時必異。故正球出沒之星，自不等於斜球出沒之星也。法先於球上任取一星，使之交西地平。後以高弧為定，則必在東地平上量星距日之限，令本限交黃道度所得之數，即星在西夕伏之度也。如使星交東地平，安高弧於西，量星距日限至黃道上所得交度，即星在東晨見度也。總以太陽日行分，依前後度為限，遂得各星合伏不見之期。如設畢宿「大星距太陽十度，應伏。」試令北極高四十度，以黃道度相距，因本星《黃經》約在實沈五度，宜太陽躔大梁二十五度，即星夕伏。而今不然也，必太陽在大梁十四度，星即不見，何也？使本星交西地平，高弧在東，以十度交黃道，得正對大梁者為大火宮十四度，是大梁十四度星伏黃道上，畢宿大星已距太陽二十餘度，蓋斜入故也。復依《黃道距論》，晨見宜太陽躔實沈十五度，其星即見，而今又不然也。直至太陽在本宮二十七度，星乃見。蓋移星於東，地平安高弧於西，則高弧十度，已交析木二十七度，乃與實沈二十七度為正相對之處。是本星已距太陽二十二度，亦繇斜出故也。大都躔度前後相距約四十三度，因得畢宿大星前後合伏不見，應四十三日有半矣。若五緯，則宜先定其經緯度於球面。餘法同前。如崇禎七年十二月二十日《大統》載「金星夕伏」，至次年正月初三日晨見。臨期實測不伏。試以天球考之，〈北極高四十度〉此時因金星退行，《大統》所載夕伏之時，距太陽甚遠，測時尚高十八度，固不足論。惟次年正月初二日，太陽躔元寺枵二十九度，金星在娵訾一度 ○二分，緯距北約九度，乃移星至西，地平而日躔對度。〈在東〉尚高出五度，餘故夕可見。〈依前定限〉其正月初一日，太陽躔元枵二十八度，金星在娵訾一度三十九分，緯距北約八度半，復轉星至東，地平。其西對度較太陽亦高五度餘。故次日夕見者，前一日反晨見。又水星，《大統》載崇禎八年三月十八日晨見，至四月二十四日，晨伏不見。依新法推本星，自三月初二日夕伏不見，直至六月初六日始夕見。前此俱伏，何也？三月十八日，太陽躔大梁一十三度，水星在本宮初度，距南三十六分。依黃道，雖出距限之外，〈十一度半〉然使之交東地平，而與太陽相對之處止高五度，尚在距限內，其不得見也宜矣。至四月初三日，距太陽最遠，乃太陽躔大梁二十六度半，星仍在本宮初度，但距南二度半，較日躔之對度亦止高九度，故亦不得見。凡此，皆繇於黃道斜升斜降也。

求晝夜長短

太陽左旋，因之以分晝夜，必依赤道上取同出弧為晝長，同入弧為夜長。法儀上查太陽本日躔度，移至東地平，因識赤道同在地平之度。後轉儀令本躔度至西地平，仍視赤道在東為何度，則總前後相距之弧，如法化時，即得晝長若干，因得夜長亦若干。假如順天府北極高四十度，求最長之晝，設夏至太陽躔鶉首初度，即令本躔度交東地平。並得赤道對黃道之度，約七十度。〈自春分起筭〉《隨轉儀》令本躔度至西地平，即得赤道東出為二百九十三度。與前七十度相減，餘二百二十三度，化時得一十四小時三刻半，即順天府最長之晝。餘日長短法俱同。求夜長本法。以前夏至本躔度，安西地平，得赤道同居為一百一十一度。復令本躔度東出，則西地平，得赤道為二百四十八度。相減餘一百三十七度，變得九小時○七分，餘為當日晝所餘也。欲用時盤，則以午正與本躔度準對，即晝夜各時俱為子午圈所限，而并得太陽出沒之時。如前夏至日出子午圈，切寅正二刻餘日入切戌初二刻是也。

以晝長時，復求北極出地高。

法取最長之晝，查黃道上太陽本躔度，令居子午圈下，並與時盤午正脗合。後轉儀以本太陽出地平之時正，對子午圈為度。架內起儀或稍下游移試之，務使本躔度得交東地平，即得本方北極高度。假如順天府最長晝〈夏至日〉約十五小時半之，為七時○二刻，算得寅正二刻，乃太陽自東出至午正之時刻也。先以鶉首初度〈夏至日〉與時盤午正並居子午圈，隨將寅正二刻代居其下，惟游移本圈，令鶉首初度至東地平即得。儀上極高四十度，為順天府北極出地度也。

求晝時刻

太陽西行，每三度四十五分為一刻，十五度為一小時。〈四刻〉冬夏朝夕，皆如此法。先依本北極安儀，隨置遊表於本躔度，移居子午圈，與時盤午正相對，後令儀轉。〈東或西〉至表無射景，則子午圈所切盤上時刻，即其時刻。或不用遊表，止取本躔度與時盤午正居子午圈下。隨用他器測日輪高度，以所得度識之高弧上，如法安弧，令高弧與躔度合為一處，則視子午圈所指，即其時刻。

求朦朧時刻

「太陽在地平下，體雖不見，而光實射於空中。則此昏明之際，政所謂朦朧時刻」是也。定限為一十八度。如距太陽在限外者，固宜地面周暗，全無照光，然即在限之內，因所行不同，為時亦各有多寡。或躔度在黃道為正，出入則太陽徑離地平，其行速，為朦朧短；或躔度在黃道為斜，出入則太陽略遶地平，其行較遲，得朦朧長。試令如法安儀，將高弧上十八度，與日躔正對之度，〈在東用西互易之〉從地平數起，依限於赤道圈作識，隨去高弧，視本躔度之對度，在赤道上交地平為何度，則依赤道相距之弧變時，即得朦朧長短時刻。欲用時盤，則以午正與本躔度正對子午圈。餘法同前。如北極高四十度，太陽在星紀初度，若查晨刻，必安高弧於西地平。令弧上十八度與鶉首初度等，即時盤約得卯正。〈躔度東入十八度故〉則是本日朦朧之初刻，計至太陽出，約差六刻。或安高弧於東地平。令本儀以鶉首初度與弧上十八度等，得酉正為昏刻之末界，此時太陽已西入六刻。又如太陽在鶉首初度，宜以星紀初度與高弧十八度等，東西俱同前法，得本日晨初在丑正二刻，昏末在亥初二刻，總朦朧各得八刻。因知朝夕所得同，而冬夏所得異也。

求距太陽出入前後時刻。

以太陽出沒之時較所得時，即於晝夜長短中推取，此亦一法也。然又有從升入之度求得者，如法安儀豎表於本躔度，轉儀令表無射景，因識赤道交東地平度。〈赤道升度是〉復轉儀使東至躔度，交本地平。亦並識其赤道同居之度。〈日升度是〉兩升度相較，必前減後餘為日出距本時之弧化時，即所求前距時刻。或於表無射景時，識赤道交西地平度。〈赤道入度是〉又復定赤道與本躔度在西同居之度。〈日入度是〉兩入度相較，必後減前，得赤道弧，為後距時刻。如北極高四十度，日躔鶉首初度，設巳正初刻，表無射景，必東地平，得赤道一百四十九度；西地平，三百二十九度。令躔度至東復得赤道六十九度，與前度相減，餘八十度化為五小時 ○二刻，即本日巳正之前距時刻。若令躔度至西復得赤道一百一十一度，借全周減前三百二十九度，餘一百四十二度，化得九小時○二刻，乃本日巳正之後距時刻也。欲用時盤，必先以午正與本躔度上之遊表居子午圈，至表無景處，得本時刻。隨將躔度交東西地平，則本圈兩次所指時刻，即距本時之前後時刻。

求七曜時分

七曜輪轉，各主一時，名為「不等時。」蓋晝夜雖共分二十四時，然此則晝自晝、夜自夜，各平分必得十二時，而晝夜之長短所不論也。所以赤道上弧，亦不得定以十五度為一小時。

七曜輪轉之時：一太陽，二金，三水，四太陰，五土，六木，七火。因推每曜，當得一時，必自日出起算所得第一時之曜，即為本日之主。如遇昴日，其第一時應太陽本日遂屬太陽。依次輪轉，次日第一時屬太陰，太陰亦為次日之主。餘倣此。

法「先查晝長總時。」〈依前法〉化為分，以十二除之，所得數，為本晝不等之一時。次於黃道圈，查本晝躔度，令與時盤午正，依法相對。復移躔度至東地平，以定日出時。〈依常法〉從此，依先得七政不等時平分盤周，自日出至日沒之處，後用表依常法測日。依新分盤得時，如北極高四十度，最長晝為一十五小時，化得九百分，以十二除之，得七十五分，為本日一不等時。〈正五刻〉或依前設巳正表，對太陽無景時盤，得新分四時三十分為自日出至巳正之不等時也。與十二相減，餘七時四十五分為巳正至日沒之不等時也。

求夜時刻

太陽依左行分晝夜，故此獨為時刻之原。乃欲以星曜定時者，必先求其赤道上經度距太陽若干，隨以相應之距弧加於午正，變為時，即所當測之時刻。法依極安球，令本躔度及時盤午正相對。後用象限等器測星出地高度，并識其方位。〈東或西〉依之，安高弧轉球，以星對高弧於前所測度，視子午圈所切時刻，即本時刻或不測星高度。〈先以本躔度合時盤午正〉止將本儀取正南北視至「天中之星。」〈或出沒之星亦可〉即於球上移居子午圈，而圈下所指時刻是其時刻。假如太陽躔降婁初度，即將本度正合盤上午正，設角宿南星至天中，乃移球上本星居子午圈下，得時為丑初初刻○六分。凡星及各節氣躔度俱準此。若依赤道度求時，如前法以本躔度及時盤午正居子午圈，並識圈下同居之赤道度。轉球，以星所測得度正對高弧，復識其居子午圈之赤道度，將前後相距之赤道弧化為時，乃星居午正之時刻，必加於午正時，得所求時刻。如前角宿南星至天之中，得赤道同居為一百九十六度。

從春分起算順數，因躔度在降婁初度，故止用星赤度化時。

查表，應十三小時○四分，加於午正，為丑初初刻○ 四分。

日躔不正，在春分後得度，減去前度，不足借《全周》。

減之

求太陽等曜距午正之弧，

法先以本曜所行度與時盤午正居子午圈，因識其同居之赤道度。後轉儀任所設時居子午圈，復識其同居之赤經度。兩經度相減，所餘必本曜距午正之弧。如太陽躔壽星十五度，赤經為一百九十四度。《轉儀》令辰正初刻居子午圈，則同居赤經為一百三十三度，前後度相減，餘六十一度，即太陽距午正之弧也。他曜倣此。

求日月食之原

日月地三體，必并居一直線上，始有食。蓋日體恆居一直線之初界，而彼界則月體、地體疊居焉。如月體居界末，則月面之日光食於地景；地體居界末，則地上之日光食於月景。〈月體厚不能透光故〉「但太陽本行恆依黃道中線，而地居天之中心，一為日光所照，則此面受光，彼面必生景，雖所射景與日正對，亦不能越黃道之中線以為規也。乃太陰本行多在黃道內外，大端距日與地所居之直線遠，則朔朢無食。惟出入黃道之處，與日與地相參直在一線上，則朔朢必食。」試於本儀考之，設太陰在陰。〈黃道北〉《陽曆》：〈黃道南〉距兩交甚遠，任太陽在何宮度，使轉太陰本圈與日體會為朔或正對為朢。從而視之，必日月不能與地並居一直線，無緣得食。若移太陰至正交或中交，不拘得何宮度，與日相會或相朢，必日月地之體並居一直線，本朔朢時雖欲不食，不可得也。

求交食方位

日月相食之輪，或從失光之處求之，或從存光之處求之，其起復方位，恆自不同。此中繇於多緣，如黃道斜月在南北，二曜居午正前後，俱能變易方位，一一細推，其故甚難，惟於儀上視之，瞭如指掌。法論日食，依先所算黃道上二曜視度中心圖一小圈當日輪，并依太陰視距，或南或北，復圖一圈，與前約等，即當「月輪。」

求初虧，俱依二曜初虧各視度。求食甚、復圓，必依食甚、復圓時之視度。

隨令時盤午正與躔度相對轉儀，令子午圈切初虧等時後，以高弧正居二曜之心，所至地平，即其所食方位也。若月食法同，惟與太陽正對之處，圖地景圈徑約一度半，其左右或前後，依月距及各宮度繪圈略小，即得月食之象。假如崇禎九年正月，月食三分，餘因太陽躔娵訾約二度，以本度對時盤午正，乃於太陽正對處。〈實沈約二度〉圖景並月體圈轉儀令卯初。〈初虧時〉正居子午圈：即因月輪距南約五十分；〈以本行未至景心論〉以高弧試之，尚距正東十餘度，得其向東北。至食甚時，月輪又低，東行又多，約與景心南北相對，故此時得其向正北也。若欲查二曜初虧等時距地平高，即依《時轉儀》，令高弧從天頂過二曜之中心至地平數之，即得二曜高度。如前月食初虧依卯初定儀，而以高弧過太陰圈心，則地平上約得十九度，即月初虧高度也。

求彗星遊星經緯度

先任測一恆星之高度。如法安球，必使高弧依所測星高度，與球上本星脗合，隨測彗星或《五緯》地平經緯度，而以本經度查於球之地平，隨將高弧過所測之星高於球上，用點作識，因較黃、赤道所距度，皆依前法，即得其星之經緯度。又一法，先測彗星高度，并測一恆星與本星相距之度，隨依彗星方向，將高度於高弧上用點作識。乃復用規器於赤道上，量其二星相距度，而以一銳指恆星，一銳指高弧所識點。〈高弧進或退必以規銳至其點為定〉即得彗星經緯度。或不必測彗星高度，而惟測與一恆星相距之度，復以界尺量之，更求一恆星與此二星同在一直線而球上任將《高弧》縱橫安之。必依二恆星引對，則《高弧》所得恆星距彗星度，點之球上，又可得彗星實度。遊星俱倣此。若彗星有尾，欲圖全容，即依前法先測得其首，後測其渾體之長短，并量一恆星同居直線上，隨於球上，使高弧從首至本恆星，依先所測之長識之球面，即得星尾之所止。或正引高弧向太陽躔度，以數其長短，於球上為號亦得。蓋因彗尾多向太陽對度故也。〈以上原本卷二〉

立象

立象者何任所得時刻，應何宮度，依之以推定十二舍也。而各舍所當居之度分，並經緯諸曜，皆從本度起算。則此因時之變，得天之容，乃占驗所繇以生。第此中緊要在定每舍之初界。〈即初度〉舉所應得分數，繪以方圖或圓形，隨點入星曜，即渾天之象成矣。法依本北極高安球，以本日躔度與時盤午正較對，始轉球與盤將先所得時刻居子午圈下，而本球宛然一當時之天象。次於西地平識同居之赤道度，並得相應之黃道度，即第七舍初界。次。起半圈至赤道上距三十度之限。所得黃道度，乃第八舍初界。逓起逓加盡得地平上各舍初界而地平下諸舍，則以黃道相對處可定。如一與七、二與八、三與九、四與十、五與十一、六與十二之類是也。假如崇禎九年正月十五日辛酉曉朢月食，順天府食甚在卯正一刻○二分，日躔在娵訾宮一度五十三分。因此時求各舍躔度，先以日躔對時盤午正，依法轉儀，得西地平。交赤道一百五十○度，交黃道鶉火宮一十三度，此即七舍初界。正對東地平，得元枵宮一十三度，為第一舍初界。〈即命宮是〉上居天中，得析木宮○二度，為第十舍初界正下，得實沈宮○二度，為第四舍初界半圈，交赤道一百八十度。〈距前數三十度〉得黃道壽星宮初度，為第八舍。初界正對之降婁初度，起第二舍。又以半圈交赤道二百一十度，得大火宮九度，為第九舍。正對之大梁九度，即第三舍。後移半圈至子午圈之東，得析木宮二十度，為第十一舍。《星紀》一十度，為第十二舍。而正對處即實沈、鶉首相等之處，為第五及第六舍。因而上下左右四角。〈四角占驗最得力處〉定矣。復求緯星所居之舍，或依表預算，或徑用推定七政細行，則以本北極高及本時刻，取各曜相應度分入其舍。若星近舍初界有距度，或可入前舍中，必先以黃經緯安球上，隨以本曜所居之處求於本舍，而以前所立象定球，漸移半圈，如法起舍，乃星入前後界內者，即得本舍是也。若地平下各舍之星，法起南極於架上，與北極等高，移前第一舍之初界，至西地平，而天容在地平下者，反居地平上，即得諸曜本舍之界。如以鶉火十三度交西地平至壽星初度，總弧內得前月食，惟木星與太陰略近。查丙子年《七政》細行食甚時，木星躔鶉火二十九度五十七分，而火星則躔大火三度三十分，應入八舍。「土星。《躔星紀》一十一度三十分，緯北三十四分，必在十二舍之初界。」太陽、金、水二星皆在娵訾宮，因同入命舍，其土星依本經度，惟緯北三十四分，故得在十二舍之初界。若距黃道北，或一度半或二度，試以舍圈限之，必其已入十一舍，因近頂緯多故也。求恆星法同此。蓋此象一立，則凡各曜性情「勢力強弱，可考而知。窮理之家，借以觀變於未然，鮮有不驗者。」〈其法詳天文卷中〉

求兩星於立象圈上相合之時。

凡兩星本各無力，一合即增力，此實足為所立象損益之原也。故以初得某星某宮度主人生命等事者，安東地平。〈依本地北極高〉「即應查其與某星相合否。」蓋轉立象圈於球面上下，得二星在通徑上，即命星在地平時，其星必合。否則令球與立象圈各自那轉。復求其當合時法，必得二星能如此合，遂識赤道交子午圈度。次移本日躔度合子午圈，併識其同居赤道度。乃以前赤道交度減後赤道交度，餘度化為時刻，即得二星應合之時。如極高四十度，一星在鶉尾宮二度，距緯南三度；又一星在本宮四度，距緯北一度。本日躔鶉首宮七度。試轉儀併半圈，見子午圈西。未合必過東近地平方可得合。而合時赤道，則以七十五度交子午圈，便移日躔至子午圈下，得同居赤道九十七度，為前度所減。〈先借全周後減〉餘三百三十八度化為時，得二十二時二刻○四分，即二星去午時後合圈下之限。

求經緯星相照度

凡兩星相照，增力或阻力，多以向黃道為準。大約有五等，如會合即同度同分為密，而同度不同分者，則謂之疏，六照以六十度為界，四照止於一象限，三照以四宮相距而云。然朢照則以正相對，而得半圈之距。乃此數照，又各有親或遠者，蓋星體居正照之界，即親而力強。若體未正居其界，而第以光居之，即遠而力弱。至若光之前後雖同，而各星所定之限有異，如土得十度。〈前十後十〉木十二度，火八度，太陽十七度，金水皆七度，太陰復十二度。經星凡第一等，有七度三十分；二等，五度三十分；三等，三度三十分；四等，一度三十分。五六等，最微力弱，不入其數。總之，除會、朢二照，餘皆以順十二宮為左照，逆十二宮為右照。試於儀上考之，法用規器量黃道上，任取一照之界。〈六十九十等度〉以星為心，於黃道左右，分順與逆照之限。假如求大角四照，以九十度為限，將規一銳居本星體一銳指左界九十度必至星紀十七度，為順照；指右界九十度必至鶉首十七度，為逆照。若《七政》必先依各經緯度安其本位。餘法同前。又一法，用立象半圈，先依北極出地安球，任取本時升度居地平，乃移半圈徑過其星依之，於赤道上作「識後轉球」，從前所識赤道度相距三四等照界，仍移半圈。其上所指黃道度，即星照所至界也。假如升度在壽星十六度，求軒轅大星六照限，必移升度於東地，平立象圈，過星指赤道一百三十八度，復加六十度，應一百九十八度，居立象圈，即併得壽星宮十六度。居本圈，為「《軒轅大星》六照」之左限。其右限則以反減六十度為法。

求歲旋

凡從前所取時刻，至太陽復躔元度分，其中相去總數，謂之「歲旋。」蓋依後時所立象，較前象所得七政等星居舍內應增或阻前星之力，即效驗所繇變也。法令球依前立象之時定住，視赤道交子午圈若干度，為前象天中升度。今越若干年，復求後象天中之升度，必每去一歲，加八十八度四十九分，滿全周則去之，餘數即後象赤道交子午圈度。使之於本圈正合，可得天容。依歲旋之時因以定各舍宮度。而各星安舍法亦同前。假如崇禎元年正月酉正時，立前象，因太陽躔元枵一十六度一十九分，依法轉球，令時盤酉正交子午圈，得赤道交本圈之升度為五十度。設相去八年，復立象，為崇禎八年十二月二十九日。〈太陽躔元度是〉則以八乘八十八度四十九分去全周，餘四十度三十三分，為後象之升度。移居子午圈，得本圈。指酉初二刻，為歲旋之時。如用《立成表》細求，即後歲中先查太陽躔元度分之日，為歲旋終之日。次以《後象》升度減太陽是日之升度。〈不足減借全周減之〉餘數化為時刻分，即得當日立象之時刻焉。假如因十二月二十九日太陽躔元度為歲旋終之日，其升度三百一十八度四十八分後象升度四十度三十三分不足減，借全周，共得四百○度三十三分。減去前數，餘八十一度四十五分，化為五小時一刻一十二分。〈從午正起筭〉

加升度表

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引《照元》，與《增力元》相合。

凡初得某星，某宮居某舍，因之以占所效，是謂《照元》。設更有一星，或一宮所居舍，能增力，或阻前效，即謂為「增力元。」二元必各依定時著力，乃就中求以前者至後之位，或反以後者至前之位，俱依赤道弧相應二元之距為限，轉球查其弧之大小為引，則一度應一年，度數既定，應在何時，亦可限矣。故引後至前，以順宗動為正。而引前至後，則因五緯逆行時用之，遂名曰「反引」，皆於球上可得。正引者何？轉球先依天象安定，令黃道應第一舍初界之度，正居東地平。次查照元移象圈徑過其上，併識赤道合子午圈度。又轉球右行，以增力元。至半圈，復識赤道交子午圈度。則先後所識之間弧，乃指正引限，而總數可推年時也。欲反引安球令之轉同前。惟立象圈，宜先徑過《增力元》，復識轉球時赤道過子午圈弧因以定其中相去之年。假如北極高四十度，設大梁十度，在第一舍初界，太陰離黃道娵訾二十度，距北二度，為照元。火星近東地平躔大梁六度，距南三度，為《增力元》。必先依各經緯度，帶二曜於球上，然後令象圈過太陰處所交赤道點，約為三百五十二度。〈用本圈與用子午圈同〉次定住象圈，移火星與本圈正對，約得赤道交圈點為二十八度，以所得前後度相減，餘中弧為三十六度，即正引之限。求反引法亦同。但引限在地平下，必先起南極，依北極出地度，令黃道第一舍初界之度，正居西地平。餘法同前。〈見前第二卷〉

求引二元應止黃道何度？

因照元漸離初得之象圈，乃更有黃道相應，故任至某年，亦可求其相應度法。先安球，依本象，令象圈與照元合，隨查赤道交子午圈度，因之順或逆，取本度與年數所止限，移至子午圈，必此時交象圈黃道度，即其年所引照元止限也。如北極高四十度，設壽星十六度，東出太陽《躔元》枵六度為照元。依去四十二年之數，復求躔度，因安壽星十六度，於本地平安象圈於鶉火六度。〈與元枵對度因後在地平下故〉得子午圈交赤道一百一十度。以加四十二度依之，應一百五十二度。交子午圈，得象圈交鶉尾一十六度。即《娵訾》一十六度。〈正對宮度是〉為照元去四十二年所至限。若照元自居四角，不必用象圈，依所取年數轉球復居本角黃道度，即照元所止度。設壽星十六度為照元，而出地平者，亦即此度，則得地平交赤道二百零一度。令球右轉，以赤道四十三度至地平，則所并居之大火十九度，即為照元任取之年後止限。又設增力元，亦居地平等角，即以同居赤道度減年數之度所止限復移至地平等角，亦即得黃道交地平等角，為其當年所至之限。或增力元不正居角，仍用象圈與之交并，識其所過赤道度，減總年數。餘度限移至本象圈，復得并交黃道度，為增力元當年之限也。

依《渾儀》解圓線三角形。

「圓線三角形」者何？乃過球心大圈相交三弧之形，而各弧不及圈之半周所成也。蓋形內每兩弧共抱一角在間者謂之腰弧，而與角相對之弧即底弧。或又謂直角三角形內以所抱直角弧為底弧及垂弧，即與勾股不異，而以所正對直角者為弦弧論角，其大小以對弧之大小為則。蓋用規器以本角為心，以九十度為界，則兩腰間之弧。〈腰先引長〉必量其角，得本弧為一象限，即對角為直角，過象限為鈍角，不及象限乃為銳角。凡弧或角不及滿象限之度，名之為餘。又凡兩腰引長至合一點，則得抱角之對三角形。以底弧為公底，以對角為等角，而餘弧餘角皆前三角形所不及，滿一百八十度之餘弧餘角者也。因止一直角三角形，得餘皆鈍角者，則與直角正對之形內腰間角必直，餘反皆銳也。如止一直角，三角形得餘一鈍一銳者，則與銳角正對之形內惟前形直角相連之。

圖

角為直角餘皆銳角也如圖乙戊丙形內設戊為直角乙丙皆鈍角即其對形乙甲丙內得甲為直角乙丙皆銳角也又丁丙戊形內設丙為銳角戊直角丁鈍角即其對形為丁己戊而戊角獨直丁己皆銳角論斜角形如三角總為銳

角，必對形獨存一銳角，餘皆鈍角也。設乙甲丙形內甲為銳角，即得對形乙戊丙內戊亦為銳角，乙丙皆鈍角。如三角總為鈍角，乃對形反存一鈍角，餘皆銳角也。設乙戊丙形內戊為鈍角，即乙甲丙內甲亦鈍角。今解三角形法，多論不及，一象限之弧，即銳角之底是也。因以斜鈍角形先變為銳角形，以直角形有一或二鈍角者，亦先改為對形，則就中推求之法，與解原形不異，即餘弧餘角之理所繇出也。今用《渾天儀》解之，亦倣此。但先解直角形，盡之於三比法有以先得一銳角并與各弧者，又餘銳角復并與各弧者，又以其底同各腰，或并得二腰者，各列法如左：

任取一弧一銳角，求餘弧及餘角。

設甲乙丙三角形，內甲為直角，其底乙丙餘弧即腰，則乙與丙皆銳角也。先設得乙丙直角之底弧及乙角，欲求餘盡，解本三角形。法架內北起子午圈，令赤道前高依本角之度，然後或東或西，自赤道交地平處與本地平，查底多寡之度以為限。移過極圈至此限上，即三角形儀上定矣。如乙角為二十三度半，以

圖

前子午圈弧為則使赤道依之其左右交地平角即得對弧以定大小今甲為直角必於赤道交過極圈處求之則地平上得底若設乙丙底弧為六十度而移過極圈至本度〈從乙角算起〉因大腰在赤道弧，約為五十八度，小腰在過極圈弧。

圖

為二十度有半自過極圈交地平查各圈滿一象限即以其限安高弧得二圈間之弧為丙銳角之對弧約七十八度又設以小腰及本角求餘弧及餘角即先定角等法同前而以所先得甲丙弧〈如二十度半〉與過極圈上為點，移之至交地

平，必自得腰與底弧合前度，即丙角亦在高弧同矣。或以大腰查求其餘，亦先定乙角，而轉儀以漸進赤道弧入地平，令自其二圈相交之處，獨餘五十八度。至過極圈交赤道之角，必餘法餘度亦合前也。今試以三弧各與丙角為先，得如底為六十度。求餘弧餘角法：移過極圈至地平，距子午東或西三十度。〈六十度餘是〉定住球，使高弧距二圈相交之處，各滿一象限，得間弧為七十八度，即所設之形準。否則宜前或後，起子午圈，必令高弧對丙角，如其度為止，即子午圈自地平以上得對乙角之弧，而直角兩腰皆明矣。或設先得大腰，與丙角必進或退赤道圈定其腰之大小。〈如五十八度〉即安高弧而起子午圈，依前法求餘弧及餘角也。或以小腰及丙角求餘，即先於過極圈查腰弧大小之度，使之交地平，以試高弧，得全形。蓋對角弧不及其度，即球宜北起，過極圈宜南下。若對弧已過其度，則球反宜南起，隨移過極圈東西得正，然後餘角、餘弧皆依前法準得矣。任取一腰一底或二腰求餘弧及諸角，先設得小腰與底弧，皆依前度法令球轉東或西，以過極圈限底弧之度。〈如六十度〉視本過極圈，自赤道至交地平弧，若正合其度。〈如二十度半〉即三角形已定，否則前後起儀求小腰，務合於地平。乃所對大腰，亦復得五十八度，而查乙角丙角必同前。又設得大腰與底弧，亦先定底弧度，漸起球或下，令之左右轉，以并對大腰度，即小腰亦自合，而求角必依前法也。或復設得二腰，求底與角即先定大腰，令球下或起，即得餘腰與底，而求角亦不異前也。

《解斜角三角形》，總為六題。

圖

其一曰以二腰及間角求底弧及餘角如甲乙丙三角形內丙為鈍角甲乙皆銳角設先知甲角〈即間角〉則乙、丙為底，餘弧皆腰也。如甲角為三十度，大腰六十度，小腰止五十度。法於子午圈查距極，〈南北不拘〉六十度之弧，移其限於天頂。次用

過極圈，令距子午圈左或右，而以赤道三十度為限。末安高弧，東西必依極圈所居方位。令之交極圈距極限五十度，即《三角》全形定矣。大都子午圈為大腰，極圈為小腰，高弧為底。因而如前圖，得乙丙底，為二十六度有半。乙角以地平為對弧，在子午圈及高弧之間，得五十九度有半。所餘丙鈍角，欲求其對弧，未免再移球。故先依高弧於球面上界線，後轉極圈，令交高弧之點正居子午圈下，而并其子午圈起之，以當天頂。乃復依先界之線安高弧，而以至地平為限，則此限及子午圈之中弧，即丙餘角之對弧，為一百八十度。所減存得丙角一百零三度。若用渾儀求之，線宜界於黃道上，或高弧本位不與黃道遇，即於未轉極圈之先，移高弧於正對地平度，所遇多寡度界線其上。餘法同前，而所得弧即正丙鈍角之對弧也。其二曰，以二弧及先所得一弧之對角，求餘弧餘角。如前圖設先得甲乙弧六十度，乙丙二十六度半及丙角一百零三度。法起子午圈，以二十六度半為距極之限，令之居天頂，則自極至頂，得乙丙弧將秋分。

圖

經圈西距子午圈十三度〈依赤道為則〉或將春分經圈東距十三度，則自二至經圈至子午圈，其中得赤道弧，為一百零三度，乃丙角之對弧也。又安高弧，使之以六十度。〈自頂下數〉交過至經圈，即以高弧得甲乙，以經圈得甲丙，而甲乙、丙形全矣。

今查甲丙必為五十度，乙角則自高弧至子午圈，在地平上必五十九度半。所餘甲角，因依高弧於黃道上界線，然後移經圈交高弧之點，以正居天頂。而依界線復安高弧，得交地平至子午圈之中弧為三十度。或不移球，止安高弧於地平正對之處，用規器於前交經圈及高弧一象限之界，量二圈所距，亦必得三十度，為甲角之度也。

設反得甲丙五十度，乙丙二十六度半及甲角三十度，以求餘弧。餘角法起子午圈，令距極五十度之限在天頂。次轉儀，使過極圈距子午圈之東或西，依赤道上三十度為則。即於高弧自頂而下，數至二十六度半，以之交經圈，即得餘弧於本圈為六十度，而高弧在地平上。其距子午圈一百零三度，乃為丙角之對弧。仍依高弧在黃道上作線，令前交之經圈六十度居頂，用高弧順線下至地平，必得五十九度半，即形內乙角也。

其三曰：以二角及先所得一角之對弧求餘角。餘弧設甲乙丙形，先得乙角為十度半，丙角為一百五十。

圖

四度半又得甲丙弧對乙角為二十三度半宜求甲角與甲乙及乙丙弧但既先得甲丙對乙角之弧亦應知甲乙對丙角之弧過象限否今使過象限法查經圈左右赤道上之十度半令之正居子午圈隨於地平上從北去南查一百

五十四度半，以之安高弧，因而起。或下子午圈，必視其所交經圈之點，距北極出象限外。乃并視經圈所交高弧之點，必距天頂二十三度半。一得距度準，即本形定矣。蓋乙角在極中經圈及子午圈之間，與正對赤道得其若干？〈十度半〉丙，角於地平。〈一百五十四度半〉甲乙弧於經圈上約得一百零六度，乙丙於子午圈上得八十四度半止。餘甲角必起高弧與經圈所交之點，至頂而求其角於地平。依前法得其為二十七度。其四曰，以二角及角間之弧求餘角。餘弧如前形，內設甲角為三十度，丙角一百零三度，甲丙弧為五十度，法自極中，查子午圈上五十度，令之居天頂，為甲丙弧。查地平去子午圈北一百零三度，以安高弧為丙角。末以赤道上距經圈三十度之限，移居子午圈，乃得甲角，而餘弧自明矣。因而高弧上得乙丙為三十六度半，經圈上得甲乙為六十度。若求餘角，必起高弧所交經圈之點，至天頂依前法查之，乃得其五。曰以三弧求諸角。設甲乙弧為六十度，乙丙為五十度，甲丙為二十六度半。法使甲乙弧在子午圈。

圖

出極中至天頂即以之安高弧令以二十六度半〈從頂算〉交經圈距極五十度之限，必得乙角於赤道圈。甲角於地平，而丙角則起經圈五十度至頂依前法求也。或使乙丙五十度在子午圈，而以高弧安經圈之六十度，即乙角可在赤道

上。得丙角則反在地平，甲角則起球。求之法同前。其六曰，以三角求諸弧，設甲角為五十九度半，乙角為三十度，丙角為一百零三度。法轉經圈於子午圈之東或西，任取相距三十度，或五十九度半，或一百零三度，皆以赤道弧為則，必得相應之角，在經圈過極之處。安《高弧》亦同法。蓋其交地平距北或三十、或五十九度半，或一百零三度，必皆在地平上算，而相應之角則在天頂。但安高弧，必先於地平取準，乃於天頂未定之時漸起或下儀試二弧遠近相交之處，以對餘角。其法或識高弧交經圈之點於頂，而地平上試所求角正對之弧。或用規器從高弧與經圈相交之各點距一象限，量其二弧所距。〈必先轉高弧於地平正對度〉得合餘角，即初起之球必準，否即更移之總以試定三角後而其弧自明矣