《古今图书集成历象汇编历法典》第一百二十六卷_古今图书集成历象汇编历法典全本免费在线阅读

欽定古今圖書集成曆象彙編曆法典

　第一百二十六卷目錄

　算法部彙考十八

　　新法曆書〈比例規解〉

曆法典第一百二十六卷

算法部彙考十八

《新法曆書》

比例規解〈遠西羅雅谷著〉

序目

天文、曆法等學，舍度與數，則授受不能措其辭，故量法、算法恆相發焉。其法種種不襲，而器因之。各國之法與器，大同小異，如算法之或以書，或以盤珠，吾西國猶以為未盡其妙也。近世設立籌法，似更超越千古，至幾何家用法，則籌有所不盡者，而量該之，不能不藉以為用。今繇《幾何》六卷六題推顯比例，規尺一器，其用至廣，其法至妙，前諸法器不能及之。因度用數開闔其尺，以規搘度，得算最捷。或加減、或乘除、或三率，或開方之面與體，此尺悉能括之。又函表度、倒景、直景、日晷、句股弦算、五金輕重諸法，及百種技藝，無不賴之，功倍用捷，為造瑪得瑪第嘉最近之津梁也。昔在上海，曾為徐宗伯造其尺而未暇譯書，今奉旨修曆，兼用敝庠之法。思此小器，為用既廣，曷敢祕而不傳？第中西文字絕不相同，倘因艱澀而輟譯，是坐令此器不得其用，不甚可惜哉！因草創成書，請教宗伯。「此器之倘為用于世也，則潤色之，增補之，定有其時，而谷之不文，或見亮於天下後世也矣。」

論度數者，其綱領有二，一曰量法，一曰算法。所量所算者，其節目有四焉：曰點，曰線，曰面，曰體，總命之曰幾何之學，而其法不出於比例。蓋比例法又不出於句股，第句股為正方角，而別有等角、斜角，句股不足盡其理，故總名之曰「三角形。」此規名比例者，用比例法也。器不越咫尺，而量法算法，若線，若面，若體，若弧矢方圓諸法，凡度數所須，該括欲盡，斯亦奇矣。所分諸線，篇中稱引之說，特其指要各有本法，《本論》未及詳焉。若所從出與其致用，則三角形之比例而已。按《幾何原本》六卷四題云：「凡等角、三角形，其在等角旁之各兩腰線相與為比例，必等，而對等角之邊為相似之邊。」六題云：「兩三角形之一角等」，而對等，「角旁之各兩邊比例等」，即兩形為等，角形而對各，相似邊之角各等。作者因此二題，創為此器。今依左圖解之。如：

圖

「甲乙丙與丁乙戊大小兩三角形，同用乙角即為等角，則甲乙與乙丙之比例若丁乙與乙戊，而對等角之邊，如甲丙與丁戊為相似之邊也。又顯兩形為等角形，而對各相似邊之角各等也。」今此規之樞心即乙角，兩股即乙甲乙丙兩腰，甲丙為底即與乙丁戊為等角形，而各相當之各角各邊，其比例悉等矣。任張翕之，但取「大」

圖

小兩腰，其兩底必相似也。或取兩底，其兩腰必相似也；或取此腰此底，其與彼腰彼底必相似也。以數明之，如甲乙大腰一百，乙丁小腰六十，而設甲丙大底八十，以求小底，丁戊即定尺，用規器量取，丁戊為度，向平分線取數，必四十八，不煩乘除矣。又如平方積一萬，其根一百，求作別方，為大方四之三，即以一百為腰，分面線之。

四點為大底，次以三點為小腰，取小底為度，向平分線得八十六半強，為小方根。自之約得七千五百，為小方積，不煩開平方矣。又如立方積八千，其根二十，求作大方倍元方，即以二十為小底，分體線之一點為小腰，次以二點為大腰，取大底為度，於平分線得二十五半，自之，再自之，約得一萬六千，為大方積，不煩開立方矣。篇中所言「某為腰，某為底」，設某數得某數者，皆此類也。規凡二面，面有五線，共十線，其目如左：

第一《平分線》：

第二。《分面線》。

第三更《面線》。

第四。《分體線》。

第五更《體線》，

第六。分《弦線》：

《第七節·氣線》

第八時刻線：

第九表「心線第十五金線。

右比例十類之外，依《幾何原本》，其法甚多。因一器難容多線，故止設十線。其不為恆用者，姑置之稍廣焉。更具四法如左。

一，《平面形》之邊與其積。

二、「《有形》五體之邊與其積與其面」

《三有法五體與球》，或內或外兩相容。

四、「隨地造日晷求其節氣」

《比例規造法》：〈一名《度數尺》，其式有二：〉

第一式

一，以簿銅板或厚紙作兩長股，如圖任，長一尺，上下廣如長八之一，兩股等長、等廣、股首上角為樞，以樞心為心，從心出各直線，以尺大小定線數，今折中作五線，兩股之面共十線，可用十種比例之法，線行相距之地，取足書字而止。尺首半規餘地，以固樞也。用時張翕《游移》。

第二式

「一，以銅或堅木作兩股，如圖，厚一分以上，長任意。股上兩用之際，以為心規，餘地以安樞。其一規面與尺面平，而空其中；其一剡規而入於彼尺之空，令密無罅也。樞欲其無偏也；兩尺並欲其無罅也。樞心為心，與兩尺之合線，欲其中繩也。」用則張翕，游移之。張盡，令兩首相就成一直線，可作長尺。或以兩半直角相就，成一直角，可作矩尺。

《比例矩》之類別有二種，一為「四銳定心規」，一為《四銳百游規》。不解之，其造法頗難，為用未廣，姑置之。

比例各線總圖四

比例各線總圖二

比例各線總圖三

第一平分線

分法

此線平分為一百或二百乃至一千，量尺之大小也。分法：如取一百，先平分之為二，又平分為四，又各五分之為二十，自此以上不容分矣。則用更分法，以元分四復五分之，或以元分六復五分之。如左圖甲乙線分丙丁戊為元分之四。今更五分之，得己庚辛壬元分與次分之較，為壬丙為戊己，皆甲乙二十分之一，為元分五之一。

圖

每數至十至百，各書字識之。

《論》曰：甲乙四與甲丙一，若甲己四與甲壬一，更之甲乙四與甲己四，若甲丙一與甲壬一，甲己為甲乙五之四。即甲壬為甲丙五之四，壬丙為甲丙五之一。又甲丁為十，甲辛為八，辛丁為甲丁十之二，或丙丁五之二，戊庚為丁戊五之三。又壬丙為甲丙五之一，必為甲壬四之一。〈《幾何》五卷。〉

用法一

凡設一直線，任欲作幾分，假如四分，即以設線為度數，兩尺之各一百以為腰，張尺以就度，令設線度為兩腰之底，置尺數，兩尺之各二十五以為腰，斂規取二十五兩點間之度以為底，向線上簡得若干數，即所求分數。　凡言線者，皆直線。依幾何原本、大小兩三角形之比例，則二十五與得線，若一百與設線也，更之二十五與一百，得線與設線，皆若一與四也。若求極微分，如一百之一，如上以一百為腰，設線為底，置尺。次以九十九為腰，取底比設線，其較為百之一。　若欲設線，內取零數，如七之三，即以七十為腰，設線為底，置尺。次以三十為腰，斂規取底，即設線七之三。〈置尺者置不復動下倣此〉

用法二

凡有線，求幾倍之，以十為腰，設線為底，置尺如求七倍，以七十為腰，取底即元線之七倍。若求十四倍，則倍得線。或先取十倍，更取四倍并之。

用法三

有兩直線，欲定其比例，以大線為尺末之數。〈尺百即百千即千〉置尺斂規，取小線度於尺上，進退就其等數，如大線為一百，小線為三十七，即兩線之比例。若一百與三十七可約者約之。

約法：以兩大數約為兩小數，其比例不異。如一百與三十約為十與三；

用法四

乘法與倍法相通。〈乘者求設數之幾倍也〉如以七乘十三於腰線取十三為度，七倍之，即所求數也。

用法五

設兩線或兩數。

凡言「數」者，腰上取其分，或以數變為線，或以線變為數。

欲求一直線，而與元設兩線為連比例。　若設大求小，則以大設為兩腰，中設為底，次以中設為兩腰，得小底，即所求如甲乙甲丙尺之兩腰所設兩數，為三十，為十八。欲求其小比例，從心向兩腰，取三十，如甲辛甲己識之。斂規，取十八為度，以為底，如辛己次從。

圖

心取十八，如甲丁甲戊，即丁戊為連，比例之小率，得十一有奇。　若設小求大，則反之，以中設為兩腰，小設為底，置尺以中設為度，進求其等數以為底，從底向心得數即所求。如甲丁甲戊為兩腰，丁戊為底。次以甲丁為度，引之至辛至己而等，從辛從己向心，得三十，即大率。論見《幾何》？六卷十一題

凡言「等數」者，「皆兩腰上縱心」，取兩數等。下同。

用法六

凡有四率連比例，既有三率而求第四，或以前求後，則丁戊為第一，率辛己甲丁甲戊為第二，又為第三，而得辛甲為第四，若以後求前，則甲辛甲己為第一，辛己甲戊甲丁為第二，又為第三，而得丁戊為第四。

「甲辛與辛己」，若甲丁與「丁戊」故也。

圖

用法七

有斷比例之三率，求第四，如一星行九日，得一十一度，今行二十五度，日幾何，即用三率法，以元得一十一度為兩腰，元行九日為底，置尺以二十

五度為兩腰。取大底腰上數之，得二十日。〈十一之五〉為所

求日：

此正三率法，《九章》中名「異乘同除」也。

圖

用法八

句股形有二邊而求第三法：於一尺取三十為內句，一尺取四十為內股，更取五十為底，以為內弦。即腰間角為直角。置尺若求弦，則以各相當之句股，進退取數各作，識於所得點兩。

點相望，得外弦線，以弦向尺上取數，為外弦數。

言「內外」者，以先定之句股成式為內甲乙丙是；以所設所得之他句股形為外甲戊己是。

若求句，於內股，上取外股作識，以設弦為度。從識向句尺取外弦得點作識，從次識向心數之，得句。求股亦如之。

下有開方術，為句股，本法可用。

用法九

若雜角形有一角，及各傍兩腰求餘邊，先以弦線法。

圖

依設角作尺之腰間角，次用前法取之。〈見下二十一用四法。〉

用法十

有小圖，欲更畫大幾倍之圖，則尺上取元圖之各線，加幾倍，如前作之。

用法十一

此線上宜定兩數，其比例若徑與周，為七與二十二，或七十一與二百二十三，即二十八數上書「徑」，八十六上書「周」，　有圈。求周徑法，以元周為腰，設周為底。

圖

次于元兩徑取小底得所求徑　反之以徑求周徑為腰如前

用法十二

此線上定兩數求為理分中末線之比例則七十二與四十二又三之一不盡為大分其小分為二十四又三之二弱　有一直線

欲分中末分，則以設線為度，依前數取之。〈幾何六卷三十題〉

第二分面線

今為《一百不平分》，分法有二：一以算，一以量。

圖

以算分

算法者，以樞心為心，任定一度，為甲乙十平分之，自之，得積一百　。今求加倍，則倍元積一百為二百，其方根為十四，又十四之九，即於甲乙十分線加四分半強而得甲丙，為倍面之。

圖

邊求三倍，則開三百之根，得十七有半，為甲丁。求五、六、七倍以上者，邊法同。〈用方根表甚簡易。〉

以量分

任取甲乙度，為直角方形之一邊。求倍則於甲乙，引至丁截乙，丁倍於甲乙，次平分甲丁於戊，戊心甲界作半圈，從乙作乙己垂線，截圈於己，即己乙線為二百容形之一邊。〈六卷二十六增〉求

三倍，則乙丁三倍於甲乙，四倍以上，法同於尺，上從心取甲、乙，又從心取乙、己等線，成分面線。

試法

元線為一正方。〈直角方形省曰正方〉之邊，倍之，得四倍容方之邊，否則不合。三倍之，得九倍。容方之邊四倍，得十六，五倍二十五。又取三倍之邊，倍之，得十二。再加倍，得二十七倍之邊。再加倍，得四十八倍之邊。再加倍，得七十五倍之邊。若五倍容形之邊，倍之，得二十倍。容形之邊再加倍，得四十五倍。容形之邊再加倍，得八。

圖

十倍容形之邊〈本邊之論見幾何六卷十三〉

用法一

有同類之幾形

方圓三邊多邊等形容與容之比例若邊與邊其理具幾何諸題

欲並而成一同類之形其容與元幾形并之容等如

圖

正方大小四形求作一大方其容與四形并等第一形之容為二二形之容為三三形之容為四有半四形之容為六又四之三其法從心至第二點為兩腰以第一小形之邊為底置尺次并四形之容得十六又四之一以為兩腰取其

圖

底為大形邊其容與四形之容并等　若無容積之比例但設邊如甲乙丙丁四方形其法從心至尺之第一點為兩腰小形甲邊為底置尺次以乙形邊為度進退取等數得第二點外又四分之三即書二又四之三次丙形邊為度得

三又五之一，丁形邊，得四又六之五，并諸數及甲形一，得十又二十之十九，向元定尺上進退取等數為底，即所設四形同類等容之一大形邊。〈此加形之法〉

圖

用法二

設一形，求作他形，大於元形幾倍？法曰：元形邊為底，從心至第一點為腰，引至所求倍數點為大腰。取大底，即大形之邊。〈此《乘形》之法。〉

用法三

若於元形求幾分之幾，以元形邊為底，命分數為腰，退至所求數為腰，取小底即得。　如正方一形，求別作一正方，其容為元形。四之三，以大形邊為底，第四點為腰。〈即命分數〉次以第三點為「腰。」〈即得分數〉「得小底」，即《小形》邊。

此除形之法，若設一形之積，大而求其若干倍，小而求其若干分，則以原積當單數，用第一線求之。

用法四

有同類兩形，求其較，或求其多寡，或求其比例若干。法曰：「小形邊為底，第一點為腰，置尺以大形之邊為度，進退就兩等數以為腰，得兩形比例之數。次於得數減一」，所餘為同類他形之一邊，此他形為兩元形之較。　如前圖小形邊為一，大形邊為六，其比例為一與六，則從一至六為較形邊。〈此減形之法〉

用法五

有一形，求作同類之他形，但云兩形之容積。若所設之比例。法曰：「設形邊為底」，比例之相當率為腰，次他率為腰，取其底為他形之邊。

用法六

有兩數求其中比例之數。法曰：「先以大數變為線。」變線者，於分度線上取其分與數等為度也，以為底，以

圖

本線上之本數為腰，置尺次於小數上，取其底線變為數。變數者，於分度線上查得若干分也。此數為兩元數中比例之數　，如前圖二與八為兩元數。先變八為線以為底，以本線之第八點為腰，置尺次於第二點上取。

其底線變為四數，則二與四，若四與八也。　若設兩線，不知其分，先於分度數線上查幾分，法如前。

用法七

圖

有長方求作正方，其積與元形等。法曰：長方兩邊變兩數，求其中比例之數，變作線，即正方之一邊與元形等積。

用法八

有數求其方根：設數或大或小，若大如一千三百二十五，先於度線上取十分為度，以為底，以本線一點為腰，即一正方之邊，其積一百。次求一百，與設數之比例，得十三倍，又四之一，以本線十三點強為腰，取其底，於度線上查分，得三十五強，為設數之根。

第三更面線

分法

如有正方形，欲作圓形與元形之積等。置公類之容積四三二九六四以開，方得六五八，正方邊也。以開三邊形之根，得一千，為三邊等形之一邊。開五邊之

圖

根得五○二六邊形之根為四○八七邊形之根為三四五八邊形之根為二九九九邊形之根為二六○十邊形之根為二三七十一邊形之根為二一四十二邊形之根為一九七圓形之徑為七四二以本線為千平分而取各類之

數從心至末，取各數加本類之號。

言「平形」者，有法之形，各邊各角俱等。

用法一

有異類之形欲相併，先以本線各形之邊為度，以為底，以本類之號為腰。置尺取正方號之底線別書之，末以各正方之邊於分面線上取數合之，而得總邊也。

假如甲乙丙三異類形欲相併，先以三邊號為腰甲，一邊為底，置尺取正方號四點內之底向分面線上

圖

用十數為腰正方底為底於甲形內作方底線書十次五邊號為腰乙一邊為底如前取正方底向分面線得二十一半即於乙形內作方底線書之次圓號為腰徑為底如前得十六弱併得四十七半弱　若欲相減則先通類如前法

次於分面線上相減。〈同上圖〉

用法二

有一類之形，求變為他類之形，同積以元形邊為度，以為底，從心至本號點為腰，置尺，次以所求變形之號為腰，得底即變形邊。

用法三

凡設數求開各類之根，先於分面線求正方之根，次以方根度為底本，線正方號為腰，置尺則所求形之號之底線，即元數某類之根。

有法之平形，其邊可名為「根」，與方根相似。

用法四

若異類形，欲得其比例與其較，則先變成正方，依分面線求之。

第四分體線

《線不平分》分法有二：一以算，一以量。

以算分

從尺心任定一度，為甲乙十平分自之，又自之，得積一千，即定其線。為一千，即體之根。今求加一倍積體。

圖

之根倍元積得二千開立方根得十二又三之一即於甲乙加二又三之一為甲丙乃倍體之邊求三倍開三千數之立方根以上同

又捷法取甲乙元體之邊四分之一加於甲乙元邊得甲丙即倍體邊又取甲

丙七分之一加於甲丙，得甲丁，乃三倍體之邊。取甲丁十分之一加於甲丁，得甲戊，乃三倍體之邊。再分再加如圖。

圖

試置元體之邊二十八四之一，得七以加之，得三十五。法曰「兩根之實數。」即用再自之數，為一與二不遠。蓋二十八之立實為二一九五，二倍之為四三九○ 四，比於三十五倍體邊之實四二八七五，其差纔○ 一○二九，約之為一千四百五十二分之一，不足為差。若用三十六之四六六五六，其差為遠。　又加倍體七之一，得再倍體之邊三十五，又七之一，七之一者五也。以加之得四十，其實為六四○○○《元積》再倍之數為六五八五六，較差纔○一八五六或三十五之一，可不入算也。若用四十一根之實，六八九二一，其差為遠。

又試倍邊上之體，為體之八倍，即依圖計零數至第八位，為五之四，八之七，十一之十，十四之十，三，十七之十六，二十之十九，二十三之二十二。用合分法合之，得一、二○、四二，八○之六○、八、六○八，約之為一 ○七五○之五四三四與二之一不遠，則法亦不遠。右兩則皆用《開立方》之法，不盡數，難為定法。

以量分

先如圖求四率連比例線之第二，蓋元體之邊與倍體之邊為三加之比例也。今求第二幾何法曰：第二線上之體與第一線上之體。若四率連比例線之第四與第一，假如丙乙元體之邊，求倍體之邊，則倍丙。

圖

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乙得甲丁以甲丁乙丙作壬巳辛庚矩形於壬角之兩腰引長之以形心為心如戊作圈分截引長線於子於午漸試之必令子午直線切矩形之辛角乃止即乙丙〈即辛庚〉午庚子己甲丁〈即壬庚〉為四率，連比例線用第二率，午庚為次體之

一邊，其體倍大於元體。〈詳雙中率論〉　若甲丁為乙，丙之三倍四倍，即午庚邊上之體，大於元體亦三。四倍以上倣此。　用前法，則元體之邊倍之，得八倍體之邊。若三之，得二十七倍體之邊，四之，得六十四倍體之邊，五之，得一百二十五倍體之邊。

又取二倍體邊，倍之得十六，再倍得一、二、八倍體之邊，本線上量體任用其邊，其根，其面，其對角線，其軸皆可。

用法一

設一體，求作同類體，大於元體，幾倍法？以元體邊為

底，從心至第一點為腰，置尺，次以所求倍數　為腰，得大底，即所求大體邊。　若設零數，如元體。設三，求作七，以三點為初腰，七點為次腰。如上法。〈此乘體之法〉

用法二

有體求作小體，得元體之幾分？如四分之一、四分之三等法，以元體之邊為底，命分數之點為腰，置尺，退至得分數為小腰，得小底是所求分體邊。〈此分體之法〉

用法三

有兩體，求其比例，以小體邊為底，第一點為腰，置尺，次以大體邊為底，就等數得比例之數也。不盡，則引小體邊於二點以下，以大邊就等數兩得數乃上，可得比例之全數，而省零數。

用法四

有幾同類之體，求并作一總體，　若有各體之比例，則以比例之數合為總數，以小體邊為底，一點以上為腰，置尺於總數點內，得大底，即總體邊。　若不知，其比例先求之，次用前法。〈此加體之法〉

圖

如圖甲乙丙三立方體求，併作一大立方體，其甲根一，乙三又四之三，丙六併得十，又四之三，以甲邊為底，本線一點以上為腰，置尺向外求十又四之三為腰，取底為度，即所求總體之根。

用法五

大內減小所存，求成一同類之體，　先求其比例，次以小體邊為底。比例之小率，點以上為腰，置尺。次以比例兩率較數點上為腰，得較底即較體之邊。〈此減體之法〉

用法六

有同質、同類之兩體，得一體之重，知他體之重。蓋重與重若容與容，先求兩體之比例，次用《三率》法，某容得某重若干，求某容得某重若干。

「同質」者，金、鉛、銀、銅等；同體者，方、圓、長、立等。

用法七

有積數，欲開立方之根，　　置積與一千數求其比例。次於平分線上取十分為底，本線一點以上為腰，置尺次比例之大率，以上為腰，得大底。於平分線上取其分，為所設數之立方根。如設四萬，則四萬與一千之比例，為四十與一。如法於四十點內得大底線變為分，得三十四強。　若所設積小不及千，則以一分為底，一點或半點或四之一等數為腰，置尺設數內求底而定其分。若用半點，用所設數之一；半用四之一，亦用設數四之一。蓋算法通變，或倍或分，不變比例之理。

用法八

有兩線，求其雙中率。〈線數同理〉如三為第一率，二十四為第四率。求其比例之中兩率　法，求兩率之約數，得一與八，以小線為底，一點以上為腰，置尺，次八點以上為腰，取大底，即第二率。有第二、第四，依平分線求第三。

第五變體線

「變體」者，如有一球體，求別作立，方其容與之等。

分法

置公積百萬，依《算法》開各類之根，則立方之根為一百，四等面體之根為二○四，八等面體之根為一二。

圖

八半十二等面體之根為五十二十等面體之根為七六　圓球之徑為一二六　因諸體中獨四等面體之邊最大故本線用二百○四分平分之從心數各類之根至本數加字

開根法見測量全義六卷

用法一

有異類之體求相加，以各體之邊為度，以為底本線。本類之點以上為腰，置尺。次從立方點內取底別書之。各書訖，依分體線法合之。

用法二

有異類之幾體，求其容之比例。先以各體變而求同容之立方邊。次於分體線求其比例，乃所設體之比例。若知一體之容數，因三率法求他體之容數。

第六。分《弦線》：〈亦曰《分圈線》。〉

圖

分法有二

一法

別作象限圈分令半徑與本線等長分弧為九十度各作識從一角向各識取度移入尺線從尺心起度各依所取度作識加字若尺身大加半度之點可作一百八十○度若身小

圖

可六十度或九十度止

又法

用正弦數表取度分數半之求其正弦倍之本線上從心數之識之

如求三十度弦即其半十五度之正弦為二五九倍之得千分之五一九為三十度之弦從心

識之

用法一

有圈徑設若干之弧。求其弦，以半徑為底，六十度為腰。置尺次以設度為腰，取底即其弦。移試元圈上，合其弧　反之，有定度之弦。求元圈徑，以設弧之弦為底，設度為腰，置尺次取六十度為腰，取底即圈之半徑。

用法二

有全圈求作若干分法，以半徑為底，六十度。〈其弦即半徑也〉為腰。置尺命分數為法，全圈為實而一，得數為腰。取底《試元》圈上合所求分。〈此分圈之法〉　《約法》本線上先定各分之點。如百二十為三之一，九十為四之一，七十二為五之一，六十為六之一，五十一又七之三為七之一，四十五為八之一，四十為九之一，三十六為十之一，三十二。又十一之八為十一之一，三十為十二之一，各加字。

用法三

凡作有法之平形，先作圈，以半徑為底，六十度為腰，置尺，次本形之號為腰，取底移圈上得分。

用法四

有直線角，求其度，以角為心，任作圈兩腰間之弧度，即其對角之度。〈有半徑有弧求度如左〉

用法五

有半徑設弧不知其度數：法以半徑為底，六十度為腰。置尺次以弧為度，就等數作底，其等數即弧度。反之，設角度，不知其徑及弧，求作圖。其法：先作直線，一界為心，任作圈分，以截線為底，六十度之弦線為腰。

圖

置尺次於本線取設度之弦線為腰得底以為度從截圈點取圈分即設度之弧再作線到心即半徑成直線角如所求

因此有兩法，可解三角形，省布數。詳《測量全義》首卷。

《第七節·氣線》〈一名《正弦線》。〉

分法

全數為一百平分，尺大可作一千。用正弦表，從心數。

圖

各度之數每十度加字如三十度之正弦五十則五十數傍書三十二度之正弦五則五數傍書三

簡法

第一平分線，可當此線。為各有百平分。則一線兩傍。一書分數字。一書「度數」字。

用法一

半徑內有設弧。求其正弦。以半徑為底，百為腰，置尺，次以設度為腰，取底即其正弦。

用法二

凡造簡平儀、平渾日晷等器，用此線甚簡易。如《簡平儀》之下盤周天圈，其赤道線左右求作各節氣線，先定赤道線為春秋分，次於弧上取赤道左右各二十三度半之弧，兩弧相向作弦，以其半弦為底，本線百數為腰，置尺次數，各節氣離春秋分兩節之數，尋本線之相等數為腰，取底為度。移赤道線左右兩旁作直線，與相對之節氣相連，為各節氣線。

或於赤道線上及二至線上定時刻線之相距若干，亦可。

如欲定「立春、立冬、立夏、立秋。」

因四節離赤道之度等，故為「公度。」

法曰：立春至春分四十五度，則取本線四十五度內之底線，移於儀上春分線左右。　若欲定小暑、小寒之線，離秋分、春分各七十五度，則取七十五度內之底線為度。移二分線左右，得小暑、小寒之線。

第八時刻線：〈一名《切線線》。〉

圖

分法

切線之數無限為九十度之切割兩線皆平行無界故今止用八十度於本線

立成表。上查八十度，得五六七，即本線作「五六七」平分。次因各度數加字。

一度至十五，切線正弦微差，尺上不顯，可即用正弦。

第九表《心線》。〈一名《割線線》。〉

分法

此線亦止八十度，依表查得五七五平分之，其初點與四十五度之切線等。〈初點即全數故等〉次依《本表》加之。

用法一

有正弧或角。欲求其切線或割線法，以元圈之半徑為底，切線線四十五度之本數為腰，割線線則以○ 度○分為腰，置尺。次以設度為腰，取底為某度之切線、割線。　反之，有直線，又有本弧之徑。欲求設線之弧若干度，以半徑為度以為底。設弧之度數為腰，置尺又設線為底。求本線上等數，即設線之弧。

用法二

《表度說》以表景長短求日軌高度分，今作簡法用切。

圖

線線，凡地平上立物，皆可當表，以表長為底，本線四十五度上數為腰，置尺，次取景長為底，求兩腰之等數，即日軌高度分　。若用橫表，法如前，但所得度分，乃日離天頂之度分也。安表法見本說。

用法三

地平面上作日晷法：先作子午直線，卯酉橫線，令直角相交，從交至橫線端為底，就切線線上之八十二

圖

度半為腰置尺次於本線七度半點內取底為度向卯酉線交處左右各作識為第一時分次遞加七度半取底為度如前遞作識為各時分

每「七度半者，如七度半、十五度、二十二度半，三十度、三十七度半，四十五度、五十二度半，六十度、六十七度半，七十五度、八十二度半。」

若求刻線，則遞隔三度四十五分，而取底為度也。次於元切線上，取四十五度線。〈四十五度之切線即全數〉為底割線。初點為腰，置尺，次以本地北極高度數為腰，於本線上取底為表，長於子午卯酉兩線之交正立之。又取北極高之餘度線為度於子午線上，從交點起向南，得日晷心。從心向卯酉線上各時分點，作線為時線。在子午線西者，加午前字，如巳辰卯。在子午線東者，加午後字，如未申酉。

日晷圖說

圖

子午卯酉兩線相交於甲甲酉為度以為底以切線之八十二度半為腰置尺遞取七度半之底向甲左右作識如甲乙甲丙次取十五度線之底作第二識

如甲丁甲戊每識遞加七度半，每識得二刻，則丁點為午初，戊為未初，餘點如圖。　次取甲己線上四十五度之切線為底，割線之初點為腰，置尺取北極高餘度。〈順天府約五十〉之割線為度，從甲向南取辛，辛為心，從心過乙丁等點作線，為時刻線。又割線上取北極高度之線。〈順天府約四十〉「為表長」，即「甲庚」也，表與面為垂線。

立表法：以表位甲為心，任作一圈。次立表，表末為心，又作圈。若兩圈相合或平行，則表直矣。

用法四

先有表度，求作日晷，則以表長為底，割線上之北極高度為腰，置尺。次以極高餘度為腰，取底為度，定日晷之心。次用元尺於切線上，取每七度半之線如前。

凡言表長，以「垂表」為主或垂線。

用法五

有立面向正南作日晷，法如前。但以北極高度求晷心，以北極高之餘度為表，長。

又平晷之子午線，為此之垂線。書時刻，以平晷之卯為此之酉，各反之。

圖

用法六

若立面向正東正西先用權線作垂線定表處即晷心從心作橫線與垂線為直角　若面正東於橫線下向北作象限弧若面正西於橫線下向南作弧弧上從下數北極高之餘度為界從心過界作線為赤

道線。又以表長為底，切線線上之四十五度為腰，置

尺遞取七度半之線，從心向外，於赤道上各作識，從各識作線，與赤道為直角，則時刻線也。其過心之線，向東晷為卯正線，向西晷為酉正線。　若欲加入節氣線法，以表長為度，從表位甲上取乙點為表心，從心取赤道上各時刻點為度，以為底。以切線線之四十五度為腰，置尺。又以二十三度半為小腰，取小底為度於各時刻線上，從赤道向左向右各作識，為冬夏至日景所至之界。　如左圖。甲乙為卯酉正線，以

圖

表長為度從甲取乙為表心以切線上之四十五度為腰甲乙為底置尺又以二十三度半為小腰取小底於本線上從赤道甲向左向右各作識即卯酉正時冬夏至之景界　次從表心向卯酉初刻線取赤道之交丙點為底切線之

四十五度為腰。置尺，以二十三度半為小腰，取小底於丙左右各作識，為本時冬夏至之景界。次於各時線，如上法各作二至景界訖，聯之為本晷上冬夏二至之景線。　次作二至前後各節氣線，以節氣線之兩至點為腰。〈即鶉首之次西曆為巨蟹宮〉以各時線上赤道至兩至界為底，置尺。次以各節氣為小腰，取小底為度。從各線之赤道左右作識，如前法。

第十五金線

分法用下文各分率及分體線。

置金一度。

下方所列者，先造諸色體，大小同度權之，得其輕重之差，以為比例。

置水銀一度又七十五分度之三十八。

置鉛一度又二十三分度之一十五，

置銀一度又三十一分度之二十六。

置銅二度又九分度之一，

置鐵二度又八分度之三。

置錫二度又三十七分度之一。

先定金之方立體，其重一斤為一度。本線上從心向外，任取一點為一度，即是金度。次以分體線第十點為腰，此度為底。置尺依各色之本率，於分體線上取若干度分之線為底，從心取兩等腰，合於次底作點，即某色之度點。

又法

取各率之分子，用通分法乘之。

得金四五九五九二五。

得水銀六九二四《五二七》。

得鉛，「八六二七四○○。」

得銀八《四三一二一、二一七》

得銅九○○一四○○。

得鐵一○九一四○《七五》。

得鍚一一七九九○○○。

次以各率開立方，求各色之根。

得金，一，六六弱。

得水銀，一九一弱。

得鉛二○二。

得銀二○四。

得銅二一三。

得鐵，二，《二二》。

得錫，二二八。

若金立方重一斤，其根一百六十六弱，用各色之根率為邊成立方，即與金為同類。〈皆為立方〉同《重》。〈皆為一斤〉之體也。

今本線用此，以二二八為末點，如各率分各色之根數加號。

石體輕重不等，故不記其比例。

用法一

有某色某體之重，欲以他色作同類之體而等重。求其大小。法：以所設某色某體之一邊為度，以為底。以本線本色點為腰置尺，次以他色號點為腰，取底即所求他體之邊。

用法二

若等體等大求其重法：以所設體之相似一邊為度，以為底。置尺於他色號點取其底，兩底並識之。次於分體線上，先以設體之重數為腰，以先設體之底為底。置尺以次得他體之底為底，進退求相等數為腰，即他體之重。

用法三

有異類之體，求其比例，先依更體線通為同類，次如前法