泰朵拉一边说着“不好意思”，一边将椅子移到我身边，看我在练习本上写东西。这时，我闻到一股甜甜的香味。这是和米尔嘉不同的香味。——这不是理所当然的吗？我心想。
“那现在就开始喽。对了，我们先假设 r 为实数。这时，我们将 r 平方后得到数字 r2。你能说出关于 r2 的一些特征吗？你想想看。”我说。
听了我的问话后，泰朵拉想了几秒钟说：“r2 是 r 平方后所得的，肯定比 0 大吧？——是这样吧？”
“嗯，是这样。但是，不应该说‘r2 大于 0’，而应该说‘r2 大于等于 0’。‘大于 0’或‘比 0 大’这种说法不包括 0。”
“哦，对哦。如果 r 为 0 的话，r2 也变成 0 了。对，应该说‘大于等于 0’。”泰朵拉赞同地点了点头。
“也就是说，无论 r 为何值，以下不等式都能成立。是这样吧？”她问我。
“嗯？哦，是啊。如果 r 是实数的话，那么 r2 大于等于 0。实数 r 有三种情况：正数、零、负数。无论 r 是其中哪一种，将 r 平方后，所得的数字都大于等于 0。所以 r2 ≥ 0 这个不等式成立。这是当我们被告知‘r 为实数’这一条件时所应该注意的一个重要性质。不等式符号为等号时，r 为 0。”
“嗯……可这看起来是理所当然的呀。”她说。
“对，这是理所当然的哦。”
“啊，好的。”她说。
“实数 r 无论取何值，不等式 r2 ≥ 0 都成立。在一个不等式中，如果不论用任何实数代入该不等式，它都是成立的，那么这样的不等式叫作绝对不等式。”我说。
“绝对不等式……”她重复着我的话。
“从‘无论代入哪个数字都成立’这点来看，绝对不等式和恒等式非常相似。唯一的区别就是绝对不等式是不等式，而恒等式是等式。”
“原来如此。”她说。
“那么，我们再由此继续深入下去。假设 a 和 b 为实数，这时 也成立。能懂吗？”我问。
“让我想想……噢，对。a - b 是实数，因为它是实数，所以平方后的数大于等于 0。——啊，您能等一下吗？刚才写不等式 r2 ≥ 0 时用了字母 r 吧。为什么这道题中用字母 a 和 b 呢？我总会在这种问题上陷入冥思苦想。每当这时，老师就往下讲了。”她说。
“嗯，好啊。刚才我写的 r 是实数 real number 的首字母。但无所谓，用 x 也可以，用 w 也可以。一般常数多会用字母 a，b，c 表示，参数多用字母 x，y，z 表示。总之用什么字母都可以。虽说如此，如果把 n 设为实数的话，还是很令人吃惊的。因为 n 一般都用来表示整数和自然数。——嗯，这样解释能理解吗？”我问。
“嗯，能。不好意思，我再插一句，我一直对字母的使用一知半解……但是，对于 这个不等式我是理解了。”
泰朵拉微微一笑，目光闪烁，仿佛在期盼着我继续讲下去。她真是个表情丰富的女孩。哦，她还是个喜欢打破砂锅问到底的女孩。
“那么接下来再说哪方面的内容呢？”我试探着问她，泰朵拉的眼球滴溜溜地转着。
“您说的哪方面是指什么方面呢？”她问。
“什么方面都可以啊。既然已经搞懂了 这个不等式，那接下来应该考虑数学公式。关于数学公式，你先说说看，什么都可以。或者你自己写下来？”我说着，把自动铅笔递给她。
“好。那么，我先将它展开看看。”她说。
“这样可以了吗？”她问道。
“嗯，不错。那么你想想看，通过这两个式子你能发现什么？”我问。
“嗯……”她回答不出。
“不是什么特别重大的发现也可以啊。比如说，关于实数 a 和 b，我们可以这么说。
因为 大于等于 0，所以展开后也应该大于等于 0，对吧，泰朵拉。”
泰朵拉本来在看公式，听了我的话她突然抬起头，眨了眨眼，笑了，一副很开心的样子。
“嗯，是啊。但是，接下来该怎么办呢？”她问。
“嗯，接下来就要试着进行公式变形了。比如说，将 -2ab 这项移项到右边看看。移项后 -2ab 的符号改变，变成 2ab。”我说。
“嗯，我明白了。”她说。
“然后再两边同时除以 2，就变成这样的形式。”
“嗯。”她表示理解。
“那从这个式子中又能看出什么呢？”我问。
“能看出什么呀？”她不太明白。
“你仔细看左边， 可以看作是 a2 与 b2 的平均值，对吧？”
“啊！原来如此。因为这是 a2 和 b2 相加后除以 2 所得的数。”她恍然大悟。
“嗯，这个式子的左边含有 a2 和 b2，于是我想试着将右边也写成含有 a2 和 b2 的形式看看。”我说。
“啊？为什么这样啊？”她感到不可思议。
“没有，不是说这种情况下就应该这么做，我只是碰巧想到而已。”我说。
“原来这样啊。”她说。
“接下来的一步可能会有一点跳跃，你可得仔细看喽。为了将右边的 ab 也变成含有 a2 和 b2 的形式，我们进行如下变形。你看下面这个等式能够恒成立吗？”我问道。
“让我想想。先将 ab 平方后再开方对吧。先平方后开方……又变回原来的数字了。嗯，我想这个式子是恒成立的吧。”她回答说。
“不对哦。先平方再开方，能够变回原来的数字的只有大于等于 0 的数字。ab 也有可能是负数，如果不加上一个条件，以上式子就不成立了。”我说。
“啊，我中计了。还要加上个条件呀。”她叫道。
“是啊，比如说，假设 a = 2，b = -2，你一想就会明白。左边 ab = 2·(-2) = -4，而右边 ，左右不相等，对吧？”
“哦，确实是这样……”泰朵拉一行一行地确认了我写的算式后，点了点头。
“那么，接下来我们加上一个条件吧，假设 ab 大于等于 0。”我说。
当 ab ≥ 0 时
“然后，我们刚才所说的不等式 可以改写成这样的形式。”
当 ab ≥ 0 时
“嗯。”泰朵拉虽然应了声，但是她表情严肃，陷入了沉思。
“不，学长，我总觉得有点奇怪。这个 ab ≥ 0 的条件为什么是必不可少的呢？我不能接受。ab < 0 的时候，难道不等式就不成立了吗？那好，我现在就来举例证明。如果 a 为 2，b 为 -2 的话，左边和右边分别变成以下形式。”
“所以左边 ≥ 右边这个不等式可是成立的哦，学长。”泰朵拉得意地说。
“泰朵拉，你观察得很仔细啊。确实，即使不加 ab ≥ 0 这个条件也可以。那该怎么办呢？”我问。
泰朵拉又想了想，最终还是摇摇头说：“我也不知道。”
“如果不想加上 ab ≥ 0 这个条件的话，只要证明在 ab < 0 时不等式也能成立就可以了。”
“当 ab < 0 时，a 和 b 两个数中必定一个为正，一个为负。假设 a > 0，b < 0，c 是 b 的相反数，c = -b。因为 b 小于 0，所以 c 大于 0。因为无论实数取何值，不等式 都成立。所以，以下式子也就成立。”
“我们来分别讨论一下这个式子的左边和右边。”
“因此，以下不等式成立。”
当 a > 0 且 b < 0 时
“到此为止，我们讨论的是‘a 为正数，b 为负数’的情况，同样地，‘a 为负数，b 为正数’的情况也能用此方法推导。所以，对于任意实数 a 和 b，以下不等式成立。”
当 a 和 b 为任意实数时
泰朵拉一直盯着写在练习本上的数学公式，思考了许久后，终于抬起头说：“嗯，我懂了，能够接受这个答案了。——啊，对了，我还要问一个问题，‘任意’到底是什么意思呀？”
“‘任意’一词是指‘不管怎样的’‘无论……都……’的意思。它在英语中就和 any 这个词的意思一样。有时候也会用‘就所有的……而言”这一说法，在英语中称为‘for all…’。”我答道。
“啊，我明白了。‘任意实数’的意思就是‘无论是什么实数都……’吧？”她问。
我又继续说：“好了，这下我们就可以将不等式左右两边用 a2 和 b2 来 表示了。我们把 a2 称为 x，把 b2 称为 y。”
“x 和 y 这两个数是平方后所得的数，所以它们都一定大于等于 0。也就是说 x ≥ 0，y ≥ 0。如此一来，刚才的不等式就可以这样表示，简单了很多。你觉不觉得这个式子有点眼熟呢？”我问。
当 x ≥ 0 且 y ≥ 0 时
“这个我知道，叫什么基本不等式吧。”她说。
“嗯，没错。不等式的左边是‘两个数相加后再除以 2’，也就叫作算术平均数。不等式的右边是‘两个数相乘后再开根号’，也就叫作几何平均数。基本不等式就是指算术平均数不小于几何平均数这样一种关系。”
“嗯，这是从 r2 ≥ 0 这个条件推导出的公式吧。”泰朵拉感慨万千地说。
“如果你把它称为‘公式’，就很容易认为只要将它死记硬背就可以了，你还会认为自己不能对其进行变形。但是，如果经常进行一些公式变形的练习的话，你对于数学公式那种崇拜瞻仰之情就会逐渐减淡，就会觉得这玩意儿简直是小菜一碟。
“啊，原来这样啊……数学公式是可以自己创造的呀。”她说。
“与其说是自己创造的，倒不如说是自己将公式推导出来的。今后你注意观察一下，公式推导可以以例题形式出现，也可以以练习题的形式出现。”我说。
“这样啊……今后我一定注意观察。我每次见到数学公式，就总想着必须尽快把它背下来。”
“如果一开始就想把数学公式按照死记硬背的方式记的话，反而无法真正掌握。最关键的是在自己动手推导的基础上加以理解。在还没有理解的情况下就要背下来，一般不太可能。”我说。
“这样啊……”她将信将疑。
“对了，顺便问问你，基本不等式中，不等式在什么情况下取等号你知道吗？也就是说，要使
这个等式成立，x 和 y 的关系是什么呢？”我问道。
“啊…… 是不是‘x 和 y 同时为 0’啊？”她答道。
“不对。——也不是说你完全不对，是没有答全。”我说。
“啊？难道不对吗？ x 和 y 同时为 0 的时候，左右两边都为 0，等式成立的呀。”她辩解道。
“你的说法是没有错。但是你说 x 和 y 一定要同时为 0，我看没这个必要吧。x = y 就可以了啊。”
“嗯？这样啊？如果我把 x = 3 且 y = 3 代入，左边 ，右边 。啊！还真是左右相等啊。”
“嗯，像这样代入具体数值进行验证的方法是非常重要的。举例是理解的试金石。”我夸她道。
“那好，我再用其他数字代入验证一下。当 x = -2 且 y = -2 的时候会如何呢？左边 ，右边 。咦，怎么左右两边不相同？”
“喂，泰朵拉，你忘记 x ≥ 0 且 y ≥ 0 这个条件啦。”
“啊呀！对哦对哦，我真是稀里糊涂，把这个条件给忘了。我东想西想，最后却把条件忘记了。”泰朵拉挠着头，吐了吐舌头。
“泰朵拉，这次公式的变形是从
这个不等式开始的，我们回想一下就会发现，这个不等式取等号时，就是 a = b 的时候（也就是 x = y 的时候），这样一来你就会觉得很好理解。”
基本不等式
x ≥ 0 且 y ≥ 0。当 x = y 时取等号。