“刚才我们一直在玩一些公式变形的游戏，所以有些啰里啰嗦。如果我们只是要证明基本不等式，其实只要把 这个不等式的左边部分进行展开就可以了，假设 x ≥ 0 且 y ≥ 0。”
“也就是说，式子变形为下面这样。”
“然后只要把 移项，再两边同时除以 2，就可以得到以下式子。”
当 x ≥ 0 且 y ≥ 0 时
“咦？这次 x ≥ 0 且 y ≥ 0 这个条件是从哪里推导出来的呢？”她问道。
我答道：“我们现在考虑的是实数范围。根号里的数字 x 和 y 都必须大于等于 0。”
“那如果根号中的数字小于 0 会怎么样呢？”她问。
“如果根号中的数字小于 0 的话，答案就变成虚数了。”我答道。
“原来如此……”她明白了。
“好了，我们再把基本不等式进行一下变形看看如何。和就用 x + y 来表示，乘积形式不省略乘号，就用 x × y 来表示。除以 2 就用分数形式 来表示，平方根用 次方来表示。这样一来，刚才的公式就变形为以下的式子。这也能表示基本不等式。用这种方法可以明显地表示出左右两边的相似性，让人一目了然。”我说。
泰朵拉突然举起手，说：“学长，我又有一个问题。平方根就是根号的意思吧，那么 次方又是什么呢？”
我答道：“求一个数的平方根就是求这个数的 次方。也许你对 次方 这种说法感到非常吃惊，但定义就是这么规定的。不过如果你能从指数的角度来考虑的话，就很容易理解了。”
“ 次方是很标准的说法吗？”她吃惊不已。
“我来解释一下 x 的平方根就是 x 的 次方吧。比如说，假设 x ≥ 0， 首先你想想看 (x3)2 是多少？”我问道。
“(x3)2 吗？也就是 (x·x·x)2，从整体来看就是 x 的 6 次方吧，所以我认为 (x3)2 = x6 。”她答道。
“对啊。所以下面这个一般式就能成立。求一个数的幂次方的幂次方就是将其指数相乘。”我说。
“嗯，我明白了。”她说。
“那么根据上述理论，你再来看看下面这个式子。这里的 a 应该为多少呢？”
“幂次方的幂次方就是指数相乘，所以 a 的 2 倍就是 1 吧，那么 a 就是 。”她答道。
“嗯，这是很自然的想法。那么，你再仔细看看 (xa)2 = x1 这个式子。 x1 就是 x，这整个式子就被描述为‘xa 的平方是 x’。那么 xa 又表示什么呢？”
“xa 平方后变成了 x，是大于等于 0 的数吧。啊！这不就是 嘛！ 哇——实在是太厉害了！”她惊叫道。
“嗯，很厉害吧。你这下能理解 次方就是平方根这种说法了吧？”
平方根就是 次方
“我现在确实觉得这个说法很自然了。”她说。
“啊，对了，基本不等式是不是还可以写成一般化的形式呢？如果试着证明这个一般形式可能会很有趣哦。”我说。
“将这个式子用 和 来表示的话，就可以将不等式左边改写为和的形式，将右边改写为积的形式。基本不等式就是和与积之间的关系。”我说。
“学长，学 ——长 ——。”泰朵拉叫我，“这个问题很有意思，但是，再这样坐下去，我人都快变成雕像了，我可以休息会儿吗？”