我像往常一样在空无一人的图书室里玩弄着数学公式的变形。
这时，米尔嘉进来了，毫不犹豫地坐在了我身边，我又闻到她身上一股淡淡的橘子香。她看看我的笔记本问：“你在做微分？”
“嗯，算是吧。”我答道。
米尔嘉托着腮帮子，什么话都不说，就一直盯着我看。我反而被盯得不好意思，紧张得觉得题目都变难了。
“怎么了？”米尔嘉问我。
我说：“没什么……只是在想你在看什么呢？”
她回答说：“我在看你计算啊。”
看归看，可我觉得不太自在……
米尔嘉肯定不是光看看就善罢甘休的。她和其他人不同。如果你写的式子被手遮住的话，她会突然把脸凑近你，看你笔记本上到底写了什么。
啊，对了。我想起了和泰朵拉的约定——“我会自己跟米尔嘉解释清楚的”。
“对了，米尔嘉，我想跟你说件事……”我开始说话。
“你等一下。”米尔嘉把我的话打断了。她抬起头闭上眼，嘴里嘀咕着什么，两片漂亮的嘴唇不停地上下动着。她好像开始思考一些有趣的事情。我不能打断她。
几秒钟后，她睁开眼睛，说“所谓微分也就是变化量吧”。她边说边在我笔记本上写了起来。
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所谓微分也就是变化量吧。
比如说，在直线上用 x 来表示现在的位置。然后在离开 x 一点距离的位置标上 x + h。h 不是很大，也就是说“就在旁边”。
接下来，我们来考虑一下关于 f 的函数。与 x 相对应的函数 f 的值为 f(x)。然后，与 x + h 相对应的函数 f 的值为 f(x + h)。下面我们来关注一下函数 f 的变化。
为了让对比明显，我们把 0 这个原本不必写出来的数字也明确地表示出来吧。现在的位置就是 x+0，那么 f 的值就是 f(x + 0)。当变成 x + h 时，f 的值就变成了 f(x + h)。
从 x + 0 移动到 x + h 时，我们可以像下面这样求得 x 的变化量。
“变化后的位置”-“变化前的位置”
也就是 (x + h) - (x + 0)，得出答案为 h。用同样的方法，从 x + 0 移动到 x + h 时我们也可以求得 f 的变化量。通过 f(x + h) - f(x + 0) 就可算出答案。
x 的变化量 (x + h) - (x + 0) 越大，f 的变化量可能也越大，所以我们来求一下两者之比看看。求得的比也就相当于上图中斜虚线的斜率。
因为我想知道关于位置 x 的变化量，所以我会尽量缩小 h 的距离。将 h 缩小再缩小，可以把 h 考虑成趋向于 0 的极限。
也就是说，这是关于函数 f 的微分。从图上来看，这个微分就相当于下图中过点 (x, f(x)) 的切线的斜率。切线的斜率如果急速增大的话，f (x) 的值也就急速增加。也就是说，那个点上的变化量很大。
我们用 df 来表示与函数 f 相对应的“微分”。也就是说，我们将微分运算符号 d 定义为以下形式。
微分运算符号 d 的定义
定义成以下这个形式也可以。因为这两个式子是一样的。无论怎么样，微分的运算符号 d 都会变为由函数产生的，用来构成函数的高阶函数。
对了，到此为止我所说的都是关于连续函数的问题。x 可以进行连续不断的变化。接下来，我要将话题转移到离散函数的世界。在离散函数的世界，我们只能取到像整数那样的一些分散的数值。在连续函数的世界里，x 只变化了 h 这一距离，也就是移到“很近很近的地方”，我们思考了这时 f 的变化量。然后，我们思考了 h 趋向于 0 的极限情况，定义了微分。那么你认为将微分带到离散函数的世界会发生什么呢？
问题 6-1
将与连续函数世界中的微分符号 d 相对应的运算定义为离散函数世界中的符号。