米尔嘉看上去很开心。我不知不觉地被她的话所吸引，被她带到了另一个世界。
啊，对了，我还是得事先说明一下泰朵拉的那件事情。
“米尔嘉，那个，上次坐在我旁边的那个女生……”我说。
米尔嘉抬起头，朝我看看。她的脸上闪过一丝惊诧的表情，又立刻将视线转移到了数学公式上。
“那个女孩是我初中时的学妹。所以……”我解释道。
“我知道。”她说。
“啊？你知道？”这下轮到我吃惊了。
“你上次说过。”她的头抬都没抬。
“所以我有时教她数学。”我继续说。
“这我也知道。”她说。
我无语。
“不具体说明的话，就不能把自己想表达的意思传达给别人。”她边说边转了转自动铅笔。
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6.3.1 一次函数 x
不具体说明的话，就不能把自己想表达的意思传达给别人。我们不考虑抽象的 f(x)，先考虑具体的函数。
比如说，我们来比较一下一次函数 f(x) = x 的微分与差分的区别。
我们先来看微分。
然后我们再来看差分。
微分和差分的答案都为 1，由此可以得出结论：函数 f(x) = x 的微分和差分是相同的。
6.3.2 二次函数 x2
接下来我们讨论二次函数 f(x) = x2，看看它的微分和差分是否相同。
首先我们先来看一下微分。
然后我们再来看差分。
x2 的微分是 2x，而差分却是 2x + 1。这样一来，微分和差分就和刚才的情况不同，它们的结果不同。真是无聊啊，我们还得再想其他更好的办法。怎么做呢？
问题 6-2
定义与连续函数 x2 相对应的离散函数世界中的函数。
“怎么做呢？”米尔嘉问我。我思考着将微分与差分对应起来的方法，但是，脑海中还是空白一片。当米尔嘉确定从我这里得不到任何答案时，她自己开始说解答方法。她的声音听上去很温柔。
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其实呢，原本离散函数世界中几乎就没有与连续函数 x2 相对应的函数，所以我们不考虑 x2，来考虑一下离散函数世界中的其他函数。
我们来计算一下 f(x) = (x 0 0)(x 0 1) 的差分。
你看，这下差分和微分的结果是相同的了。
也就是说，连续函数 x2 和离散函数世界中的 (x - 0)(x - 1) 可以互相对应。
我们将 xn 重新考虑成下降阶乘幂的形式。可以得到这样一个对应关系。
如果写成以下这种比较冗长的形式，它们之间的对应关系就更显而易见了。
解答 6-2 （离散函数世界中的 x2）
这里所用的下降阶乘幂 可以定义为以下形式。
下降阶乘幂的定义（n 为正整数）
我给你举例看看。
6.3.3 三次函数 x3
那么，接下来我们来思考一下三次函数 f(x) = x3。
首先我们先来看微分。
在离散函数世界里，与 x3 相对应的下降阶乘幂为 。下面我们来算算 x3 的差分。
如果使用下降阶乘幂 来表示的话，我们就能让微分和差分一一对应了。
写成一般形式是这样的。
6.3.4 指数函数 ex
刚才我们就与微分运算符号 d 相对应的差分运算符号 △ 进行了定义。接着，我们又充分利用微分和差分之间的对应关系，定义了与幂 xn 相对应的下降阶乘幂 。
现在，我们再来讨论一下关于指数函数 ex 的问题，也就是讨论一下离散函数世界中的指数函数。
问题 6-3
定义与连续函数中指数函数 ex 相对应的离散函数世界中的函数。
正如其表达式所显示的那样，指数函数 ex 是一个底数为常数 e，指数为 x 的函数。常数 e 就是自然对数的底数，是一个无理数，它的值为 2.718281828 ... ，这是一个非常重要的知识点。现在我们从另一个视角来观察这个指数函数。
指数函数 ex 在连续函数的世界中有怎么样的性质呢？
指数函数 ex 最重要的一条性质是“进行微分运算后所得的式子仍然不变”。也就是说，将 ex 进行微分运算，所求得的函数就是 ex 本身。也对，e 这个常数就是这样定义的，所以对 ex 进行微分运算，所求得的函数仍旧是 ex 本身，得到这样的答案也是理所当然的。
“对 ex 进行微分运算，所求得的函数仍旧是 ex 本身”这个性质如果用微分运算符号 d 来表示的话，就可以表示成以下的微分方程式。
到此为止，我们讨论的是连续函数世界中有关指数函数的问题。
接下来，我们要讨论离散函数世界中的问题。我们把接下来要求的离散函数世界中的指数函数称为 E(x)。这样 E(x) 也有“即使将它进行差分运算，所得的结果仍旧是它本身”这样一个性质。这个性质如果用差分的运算符号 △ 来表示的话，就可以表示成以下形式，即差分方程。
根据差分运算符号 △ 的定义，我们可以将公式左边展开。
将这个式子整理后可求得以下推导公式。
当 x 为大于等于 0 的整数时，这个推导公式成立，这就是函数 E(x) 的性质。当等式右侧括号内每次递减 1 时，将右侧的式子每步都乘以 2，可以使原式不变。这样一来我们就很容易求得推导公式的答案了。
也就是说，我们得到了下面的公式。
如何来定义 E(0) 的值呢？因为 e0 = 1，与其相对应的 E (0) 也应该为 1。综上所述，指数函数 ex 所对应的函数 E(x) 就可以被定义为以下形式。
由此，我们就能得出以下对应关系。
解答 6-3 （指数函数）
因此，离散函数世界中的指数函数就是 2 的幂次方。