如果世界上只有两个人的话，人类的烦恼一定会大大减少。正因为人口过多，人和人之间一比较就会情绪低落，就会互相争斗。比如说，如果像亚当和夏娃那样只有两个人的话，那么就不会产生什么争执。不，即使只有亚当和夏娃两人，不也产生了争执吗？但是当时还有蛇呢。如果真的只有那两个人的话，也许就不会产生问题了吧。不，还是有可能会产生问题的。而且，即使最初只有两个人，但这两个人迟早会生出孩子，人口会增加的。这样一来，也可能会产生烦恼。
米尔嘉问：“你在想什么呢？”
我回答道：“我在想如果世界上只有两个人的话会怎么样。”
“嗯，这样啊，你打开着笔记本在想这个？那么，我们来说说‘如果世界上只有两个质数’的话题吧。”米尔嘉像往常一样，拿过我的笔记本，写起了数学公式。
8.9.1 卷积
“我们按照顺序来说吧。首先，我们考虑一下下列积的形式。”米尔嘉说。我沉默着听她说。
“这个乘积朝着正的无穷大发散，所以可以称为形式上的积。但是，我们把开头的几项展开看看。”
“根据指数的和进行分组后可以清楚地得到以下形式。”
“也就是说，可以用以下二重和的形式来表示。”
我看着式子的展开，点了点头说：“米尔嘉，这个是卷积吧。外侧的 中 n 由 0, 1, 2 开始一点点增加。然后，在内侧的 中，列举出分别与这些数字相对应的 2 和 3 的指数和为 n 的数字。也就是说，用 2 和 3 来划分指数。”
“用 2 和 3 来划分指数吗？——哦，确实可以这么说呢。那么，只含有质因数 2 或 3 的正整数一定会在这个和的形式的某个地方出现吧。为什么这么说呢？这是因为 2 和 3 的指数中，大于等于 0 的整数的任意组合一定会出现一次的。”米尔嘉说。
我回答说：“哦，原来如此，确实如此。”
“虽说是只含有质因数 2 或 3，但也包含 1 这个数哦。”她补充道。
8.9.2 收敛的等比数列
米尔嘉继续说道：“接下来，我们来考虑以下无穷级数的乘积。我们先把它取名为 Q2 吧。”
“刚才是朝正的无穷大发散的数字的乘积，这次不同了。为什么这么说呢？这是因为 Q2 的两个因式的无穷级数是收敛的等比数列。用等比数列的公式来计算两个因式，Q2 就变成了‘积的形式’了。”米尔嘉说。
她又接着说：“接下来，我们将 Q2 从头开始展开看看，这样就能将 Q2 变化成‘和的形式’了，这样一来，分母中就出现了刚才的 的形式。”
“好了，我们用两种方法求得了 Q2。所以，以下等式成立。”米尔嘉说。
我说：“左边是积，右边是和吧。”
8.9.3 质因数分解的唯一分解定理
“那么在此我们假设‘世界上只有 2 和 3 这两个质数’看看。这样一来，所有的正整数一定会在 的分母 中出现一次。”米尔嘉说。
“嗯？米尔嘉，不是所有的整数都可以用 的形式来表示的啊。加上 1 这个数字，只有含有 2 或者 3 这两个质因数的正整数吧。比如说 5、7、10 之类的数字就不能用此形式表示吧。”我反驳道。
“所以，我先假设了‘世界上只有 2 和 3 这两个质数’啊。如果世界上只有 2 和 3 这两个质数的话，就没有 5、7、10 之类的整数了。你还不明白我想说什么吗？”
“米尔嘉，你想说的是 质因数分解的唯一分解定理吧。因为‘比 1 大的所有整数都可以用质数的乘积形式来表示’，所以你想说‘如果世界上只有 2 和 3 这两个质数的话，就没有 5 和 7 之类的整数吧’。不过，‘世界上只有两个质数’的话题就不要讨论了吧，事实上也不可能这样啊。”
“明白了。既然你这么说，那就不要讨论了。正因为只有两个质数，所以不可能。也对，因为只有两个质数这件事本身就不可能吧。那么，我们这样，假设世界上的质数只有 m 个。”米尔嘉浅浅地笑着说。
“不行，我都说了不行了。无论是 2 个还是 m 个，这不是一样的吗？如果做这样的假设的话，就把质数认定为有限个了啊。”真不知道米尔嘉到底在说什么。
“我就是假设‘质数有有限个’啊，你还没有发现吗？”米尔嘉说。
看着她的表情，我突然明白了。
“是反证法吧！”
8.9.4 质数无限性的证明
反证法是证明的基本方法。如果用一句话来概括反证法的话，就是‘先写出要证明的命题的否命题，然后找出矛盾’。但是，想写出自己要证明的命题的否命题真是一种比较难的方法，不擅长此方法的人很多。
反证法
“那么我们就用反证法来证明一下质数的个数有无限个这个命题。”米尔嘉就这样宣战了，她摊开双手，就好像是要开始做手术的外科医生一样。
“对了，米尔嘉，要证明质数的无限性是不是用欧几里得的证明方法呢？假设质数的个数为有限个，那么所有的质数相乘后加上 1 的数也应该为质数……”我还没说话，米尔嘉在我面前摆摆手，示意我停下。
“假设质数的个数为有限个。”米尔嘉斩钉截铁地继续说道，“假设质数的个数有 m 个，这样一来，将所有的质数按照从小到大的顺序排列，表示成
最初的三个数为 p1=2, p2=3, p3=5。于是，我们可以思考一下无限和的有限积 Qm。”
“也就是说，我们将刚才 Q2 中只有 2 个质数转变为了有 m 个质数。因为 m 是个有限数，所以 Qm 也应该是个有限数。”米尔嘉补充道。
我边看着式子边思考。
“哈哈，原来如此。也是哦。因为质数 pk 是大于等于 2 的数字，所以等比数列 收敛成 。也就是说，是个有限的数值吧。”
“嗯，对，然后呢，从这里开始才比较有意思哦……”米尔嘉一边这么说着，一边吐出小舌头慢慢地舔了舔上嘴唇。
然后她继续说：“我们用刚才计算只有 2 和 3 两个质数时的方法来算有 m 个质数的情况。也就是说，先在脑海中放入有限个这个概念，然后再具体展开。如果照你的话来说，这次就不是用两个数来‘划分’指数，而是用 m 个数来‘划分’。”
米尔嘉说：“可以变成这样的形式。”
“嗯……最后这个式子的意思我不太明白。尤其是内侧的 上什么都没有写。”我说。
“虽然那个 上什么都没有写，但是只要满足 这个条件，取关于 的总和就可以了。”米尔嘉说。
“这就是你所说的‘指数和为 n 的所有组合’吧，米尔嘉。”我说。
“嗯，对的。也就是说这个 Qm 是 这一形式的各项的总和哦。
质数 pk 的指数用 rk 来表示，指数和为 n 的所有组合就是取 的和。那么，我们来关注一下分母，也就是‘质数的乘积’部分。就是这样的吧。”她说。
“接下来，根据反证法的假设，我们可以知道世界上只有 m 个质数。根据质因数分解的唯一分解定理，我们可以知道所有的正整数都可以质因数分解为 这种唯一的形式。也就是说，Qm 展开后各项的 的分母中，所有的正整数一定会出现一次。”米尔嘉说。
“嗯……这和刚才讨论的只有 2 和 3 两个质数时的情况是相同的。”我说。
“分母中‘所有的正整数一定会出现一次’的说法无非就是要说明以下式子成立的意思。”
“啊！”我突然发现是调和级数。
“你好像发现了吧。”米尔嘉说。
“Qm 照理应该是有限个，但如果是这样的话它就会发散下去。”我说。
“正是如此。利用收敛的无限等比数列，我们已经证明 Qm 为有限值了。”米尔嘉说个不停。
（有限值）
“对了，接下来就把 Qm 与调和级数 之间划上等号。”
（调和级数）
“也就是说，可以写成以下这个等式关系。”
“从质数的个数是有限个这一假设可以得出等式左边是‘有限值’，而等式右边因为是调和级数，所以‘朝正的无穷大发散’。左右两边是互相矛盾的。”米尔嘉说。
我惊讶得说不出话来。
“这样我们就从‘质数的个数是有限个’这一假设上找出了矛盾，所以假设不成立，它的否命题，也就是‘质数的个数有无限个’是成立的。Quod Erat Demonstrandum，证明结束。”米尔嘉突然竖起手指宣布说，“好了，到这里我们的工作就告一段落了。”
将调和级数的发散性和质数的无限性联系起来，这种解法真是让我大吃一惊。这真是个宝贝啊！
“这是从我们的老师那里套用的证明方法哦。”她说。
“我们的老师？”我不解。
“是 18 世纪最伟大的数学家——欧拉啊。”她目不转睛地看着我答道。
调和级数和质数的无限性