晚上。
我在自己的房间打开笔记本，开始思考米尔嘉给我布置的问题。
问题是在离散函数的世界里寻找与对数函数 相对应的函数。
以前，在寻找指数函数的时候，是利用 和 相对应的关系把问题解决的。微分方程式和差分方程式是相对应的。
这次也从与对数函数 相对应的微分方程式开始做起吧。
求对数函数 的微分的方法我在书上看到过。
将“微分后得 ”这一性质考虑成对数函数满足的微分方程式看看。因为 还可以写成 的形式，所以我们也可以说“微分后得 ”。米尔嘉过去将微分的运算符号用 d 来表示，我现在也这么用，那么就可以得到以下式子。
对数函数满足的微分方程式
从这里开始推，与 相对应的离散函数世界中的函数 L(x) 就可以考虑成是满足如下差分方程式的式子。一般来说，可以使用下降阶乘幂 次方来代替 -1 次方。
函数 L(x) 满足的差分方程式
但是，过去和米尔嘉讨论的时候，我们只考虑了在 n 大于 0 的范围内的下降阶乘幂 ，如下所示。
下降阶乘幂的定义（n 为正整数）
也就是说，必须考虑当 n 小于等于 0 的时候将 定义成什么比较妥当。
当 n = 4, 3, 2, 1 的时候， 分别如下。
仔细观察以上式子，我们可以得到以下结论。
将 除以（x - 3）我们可以得到 。
将 除以（x - 2）我们可以得到 。
将 除以（x - 1）我们可以得到 。
如果继续延伸下去，我们还可以得到以下结论。
将 除以（x - 0）我们可以得到 。
将 除以（x + 1）我们可以得到 。
将 除以（x + 2）我们可以得到 。
将 除以（x + 3）我们可以得到 。
换句话说，我们可以得到以下结论。
下降阶乘幂的定义（ n 为整数）
好了，我们再回到对数函数上，目标是解出以下这个差分方程式。
首先来看左边，根据 △ 的定义，可以得到 。
再来看右边，根据 的定义，可以得到 。所以差分方程式就可以变为以下形式。
L(x) 的差分方程式
接下来如果能求出 L(x) 就好了。咦？怎么回事呀？
和我之前和泰朵拉说过的式子不是正好一样吗？嗯，就是这个式子。
调和数 Hn 的推导公式
L(x) 的差分方程式和调和数 Hn 的推导公式相同！如果是这样的话，我们将 L(1) 定义为 1。这样一来，就可以得到以下非常简单的关系式了。
如果使用调和数 Hn 这个表示方法的话，我们可以得到以下式子。
x 为正整数
到此为止，我们可以解出问题 8-3 了。
解答 8-3
所以，我们可以得到以下对应关系。
对数函数和调和数的关系
但是，不知道怎么的一下子就是想出不来啊。对数函数原来和调和数是如此紧密地联系在一起的啊！
稍微等一下。在说“微分和差分”的时候，米尔嘉最后提到了“积分与和分”。“连续函数的世界”与“离散函数的世界”是两个世界。微分、差分、积分、和分是四种运算……好吧，我用图示来整理一下。
两个世界、四种运算
嗯，我归纳得很不错啊。在这个图中，我可以将“调和数”写在右下方的“和分 ”的位置。也就是说，当它回到连续函数的世界中时……啊，对了！ 进行微分后可得 的话，也就是说将 积分后就可以得到 了。因为写成了 ，所以我一下子没想出来。如果写成 的话就好了。
对数函数和调和数的关系
这样一来就可以接受了。
连续函数世界中的积分用 dt 来表示是可以的吧。那么，离散函数世界中的积分就有必要表示成 δk 吧。啊，假设 δk 为 1 的话，就可以前后相呼应了。
嗯，很完美地总结了出来。数学公式真是让人神清气爽啊！
“你的弱点是不肯画图。”
呜呜，被米尔嘉这样直白地指出自己的弱点，真是难过啊！比被人踩了一脚还疼。
好吧，就照米尔嘉所说的，我来画图看看。我把表示积分与和分的面积的图都画出来就可以了吧。
啊，“连续函数的世界”与“离散函数的世界”之间的对应关系从图像上看果然是一目了然。真是让我大吃一惊啊！