“你知道代数学基本定理吗？”
早晨，刚进入教室，米尔嘉突然用手指着我问道。
米尔嘉是我的同班同学。她很擅长数学，她的水平已经完全超过了学校所教的水平，爱看自己喜欢的书，寻找问题，然后解决。我虽然也不是不擅长数学，但仍不是米尔嘉的对手，不过我也没有因此而感到自卑。只是，我也想看看她正在看的世界。
数学的美、伟大、深奥，我只是刚刚体会到了一点点而已。当我站在书店里数学类的书架前时，就会发现自己还有大半的书都不能理解。与此同时，我也会想到她。米尔嘉的知识究竟有多少呢？
于是，我开始迷失自我。正在思考数学？正在思考自我？正在思考她？……我为我自己的幼稚而烦恼。她干什么看上去都好像很潇洒的样子。与她相比，我每天只是在摆弄一些式子，感觉慢了好几百步的样子。
不，不，想这些东西也没有用，也像泰朵拉那样说声“加油”吧。
“米尔嘉，代数学基本定理？是不是就是 n 次方程就有 n 个解？”
“嗯，大致 OK。复系数的 n 次方程就有 n 个复数解，重根按重数计算。”
“好长啊。”
“高斯老师发现了它。令人惊奇的是，那个时候高斯老师才 22 岁，而且他是在学位论文中证明的。用学位论文来证明这个根本的定理真是了不起啊！”
米尔嘉好像已经开启了话唠模式。在我来之前，她好像正在对着都宫侃侃而谈。我一来，都宫就立刻回到自己的座位上了，好像在说：“还是你来听才女米尔嘉的讲话吧”。
米尔嘉把我拉到黑板前，开始“上课”。
“其实，真正的代数学基本定理就是‘任意复系数的 n 次方程至少有 1 个解’。如果至少拥有 1 个解 α 的话，用 x - α 这个因式来除 n 次多项式就行了。现在开始证明 n 次方程 至少有 1 个解。首先来考虑函数 ，然后算一下这个函数的绝对值 |f(x)| 能变成多小。因为要是最小值为 0 的话，它就拥有解。在这之前，先复习一下有关复数的知识吧。好吗？”
米尔嘉写板书的速度很快，她把高斯的证明写给我看。我一边听她“讲课”，一边感慨自己对复数的理解还不够。虽然听是大致听懂了，但是事后自己不展开做一遍还是会有想不通的地方。必须要自己证明一下，做到不看证明过程自己也能证出来。像米尔嘉那样能够当场讲给别人听，则是下一个阶段了。
我一边想着这些，一边看着米尔嘉写下来的式子。米尔嘉已经讲完了代数学基本定理和因式定理，开始进入使用解来进行 n 次多项式的因式分解的内容了。
“具体地写一下。假设 n 次方程 有 n 个解 α1, α2, ... , αn，左边的 n 次多项式可以这样因式分解。”米尔嘉一边这样说一边写在了黑板上。
“也就是说，求方程的解和因式分解是相关的。这个式子中，右边第一项有 an，这个和最高次 xn 的系数合起来考虑的话比较容易明白。如果从一开始就两边同时除以 an，使 n 次方的系数变成 1 就好了。因为是 n 次多项式，所以 ，用 an 来除是没有问题的。”
就在那时，教室门口有人叫了我一声。
“喂，传说中的学妹来找！那个‘急吼吼小妹妹’！”
看到学妹来找我，我的同班同学都冲进教室里来看热闹，泰朵拉脸变得通红，拿出了我画图像用的纸。
“学长……真不好意思，打扰您了，我是来把这个还给您的。”
之后，她别别扭扭地说：“学长……我，我看起来真的那么急吼吼的吗？被他们这么说我真的是很吃惊啊！这是什么意思啊？下次我可要称呼您哥哥啦。”
“啊……不……”
“哥哥一定很高兴吧。”米尔嘉面朝黑板继续写着式子，朝这里看也不看地说。
不知不觉中，二个人步调一致起来了，真奇怪。
“哇……这块黑板写着满满的式子？是米尔嘉写的吗？”
“这样说来，泰朵拉是知道‘代数学基本定理’的吧？”
米尔嘉背对着泰朵拉，快速地写着代数学基本定理、因式定理，还有“ n 次方程式中解与系数的关系”。
“假设二次方程式 的解是 α 和 β， 就成立。求方程式的解和因式分解有关。解与系数的关系如下。”米尔嘉说道。
“同理，三次方程式 的解如果是 α，β，γ 的话……”
“一般地，n 次方程 的解如果是 α1, α2, ... , αn 的话……”
“嗯，这个就是 n 次方程的解与系数的关系。”
此时，预备铃响了。活力少女也疲倦地说“脑子好像被数学式子灌满了”，然后摇摇摆摆地回到了高一年级教室。
“真是个可爱的孩子呢，是吧，哥哥。”
米尔嘉这么说着，甩了甩刘海，中指摁了下眼镜。她用手指优雅地在空中描了下波浪线，我的眼睛便不由得追随着她的手指。
说到曲线，她脸颊的曲线我也很喜欢。还有那漂亮的嘴唇，以及从中发出来的美妙的声音，总是让我不由得想去倾听。如果比作乐器的话……
“是 ζ。”她说道。
“嗯？”
“上次村木老师的问题是 ζ 吧？”米尔嘉向我出示了卡片。
（米尔嘉的卡片）
果然。
前些日子也是那样。求调和数的时候，因为米尔嘉手中的卡片是关于 ζ 的，所以我想这次应该是 ζ(2)。原来村木老师在向我们展示一个问题的两种姿态啊。但是泰朵拉的卡片却不同。
“已经解决了吗？米尔嘉。”
“嗯……因为我记着巴塞尔问题的答案，所以当我拿到卡片的时候立即就做了出来。”
“巴塞尔问题？你记着它的答案？”
“嗯。巴塞尔问题。就是求 ζ(2) 的问题。我说了答案后，村木老师苦笑着说他并不是想要答案。如果已经知道答案的话，就要从这个式子中找出有趣的问题来。”米尔嘉耸耸肩。
“嗯……是如此有名的问题吗？”
“巴塞尔问题打倒了 18 世纪初的所有数学家，是当时的超级难题。在欧拉老师出现之前，没有一个人能做出正确答案。欧拉老师解决这个巴塞尔问题后，一举成名。”
“请稍等。如此难的问题，我们这些人怎么会有能力解决呢？”
“能解决。”
米尔嘉露出了一副认真的面孔。
“虽然这个问题在 18 世纪初很难，但现在我们的手中已经有很多武器啦。每天我们都在磨练自己的武器。”
“但是，米尔嘉记着那个答案不是吗？”
“那单单是靠记忆力而已。既然老师特意给了卡片，我想思考一下别的问题。把 x 看作是 z，将问题扩展到复数的范围。”
“嗯……但是，巴塞尔问题来着？这个 ζ(2) 是发散的吧？”
“你想知道吗？”米尔嘉吃惊地看着我。一瞬间，她的眼睛发光了。
“不，不，刚才失言了。我也还只是在思考中而已，希望你先不要说。”我急忙回答。
我在卡片的最后写下了“巴塞尔问题”。
问题 9-2
若下面的无穷级数收敛，求它的值。若不收敛，请证明。
（巴塞尔问题）