在自己家中。
电子钟显示时间为 23 点 59 分。23 和 59 都是质数啊。
家人都已经进入梦乡。我在自己的房间里做数学题，这是我最幸福的时光。
我的父母对于我挑战怎样的数学公式并没有什么兴趣。当我把数学公式变形成很有趣的形式时，我欣喜若狂地跟他们解释，他们也只是回应我一句“好厉害啊”。
朋友是很可贵的。米尔嘉和泰朵拉，我们互相出题，互相解题，互相探讨，用尽我们的所能挑战数学问题，共同分享切磋我们的解题方法。我们之间通过数学公式的语言进行交流。——我很享受这样的时光。初中时，我却一直是一个人计算。——啊，不对不对，那时，在那个地方，或许泰朵拉也在……
好了，要继续思考村木老师的问题了，就是那个关于分拆数 Pn 的问题。 至于问题 10-2 中的 P15 小于 1000 是否成立，我可以用生成函数的方法来解解看。
生成函数就是利用 x 的幂次方，将数列的所有项都归纳到一个函数式里。到目前为止，我和米尔嘉利用生成函数求出了斐波那契数列和卡塔兰数。这次的 Pn 是否也可以通过生成函数来求出通项公式呢。只要在通项公式 Pn 中找到“关于 n 的有限项代数式”，问题 10-2 就迎刃而解了。
先把到现在为止求出的分拆数 Pn 总结一下。
n0123456789...Pn11235711152230...假设该数列的生成函数为 P(x)，那么 P(x) 就可以写成以下形式。这就是生成函数的定义式。
将 P0, P1, ... 的具体数值代入上式。因为 n 次方的系数是 Pn，所以上式就变形为以下形式。
形式上的变量 x 是为了避免数列的各项出现混乱而存在的。将数列作为系数，生成它的就是生成函数。
接下来的步骤就是建立生成函数的“关于 x 的有限项代数式”。
在求斐波那契数列的通项公式 Fn 的时候，我们利用推导公式求出了有限项代数式。通过乘以 x 使 F(x) 的系数移位，真是怀念这种做法啊。
在求卡塔兰数 Cn 的时候，我们利用生成函数的积来求有限项代数式。我享受到了“划分”的快乐。
分拆数 Pn 怎么样啊？虽说是利用生成函数解题，但也不是像变魔术那样一瞬间就能把题目解出来的。关于这个数列，我们需要发现一些本质性的东西。
关于分拆数的生成函数，我还要做进一步研究。长夜漫漫。
为了选出来
我在房间里来回踱着步子思考着。动手算出具体数值是一种非常重要的解题思路，但是只用这种方法的话，最终会承受不起排列组合的大爆发。在出现那个“了不得的数字”之前，为了能解出最后答案，需要一个很大的飞跃，也就是米尔嘉所说的“脑力劳动”。再想想，再想想。
我打开窗子，呼吸了一下夜晚的新鲜空气，从远处传来狗叫声。——我为什么这么喜欢数学呢？数学到底是何物呢？米尔嘉曾经说过这样的话。
“康托尔曾经说过‘数学的本质在于它的自由’。欧拉老师是自由的，他将无穷大和无穷小的概念在自己的研究中运用得如鱼得水。圆周率 π 也好，虚数单位 i 也好，还有自然对数的底数 e 也好，都是欧拉老师最先开始使用的文字。欧拉老师为世人在原本无法跨越的河流上搭建了桥梁，就好比在柯尼斯堡上搭建了一座新桥。”
桥……我如果也能在未来的某个时候某个地方搭建一座新桥就好了。
我先来考虑一个有点脱离生成函数的话题。让我先想想我是不是解出过相同类型的题目。回想一下……
“……不记得了，不好意思。”
“……不是回想，是思考，是思考。”
这是我和泰朵拉之间有过的对话。“回想”起自己曾经说过“思考是很重要的”，我不禁笑了笑。思考是很重要的，回忆也很重要啊。
这是我和泰朵拉在讨论二项式定理时的对话。在计算 (x + y)n 的时候，出现了好几种组合方式，那时泰朵拉惊呆了，于是我告诉她 和 nCk 是 同一个意思。
求 (x + y) 的 n 次方时，分别从 n 个因式 (x + y) 中选择 x 和 y，选到的 x 和 y 的乘积就成了一项。在合并同类项后，这种选择的组合个数就在系数上体现出来了。
比如说，在展开 (x + y)3 的时候，从 3 个因式中分别取 x 和 y，这样就可以产生下面的 8 项。
如果把它们全部相加，并“合并同类项”的话，就变成了乘积的展开。
系数中的 1, 3, 3, 1 分别和选择 3 个，2 个，1 个，0 个 x 的情况一致。也就是说，如果系数用 来表示，就形成了以下式子。
回想到这里，我的脑海中浮现出了泰朵拉那表示佩服的表情，就在这一霎那，原本在房间里来回踱步的我突然停住了脚步。
嗯？ 不知道怎么的，我感觉像是碰到了什么重要的点。
“泰朵拉那表示佩服的表情”——不对，再前面一点。
“不是回想，是思考”——不对，再往后一点。
“这种选择的组合个数就在系数上体现出来”——对，就是这个。
选择的组合个数就在系数上体现出来。
运用泰朵拉的分组的方法——从因式中进行选择——嗯，有希望联系起来，一定能和分拆数的生成函数联系起来。利用无限和的无限积这个方法就好了。我明白了。
“如果一旦明白什么，就立刻着手去做。”我的脑海中响起米尔嘉的声音。
我连忙开始计算。因为是无限积，所以不能找到“关于 x 的有限项代数式”，但是我可以求出乘积形式的生成函数 P(x)。
——深夜，在自己家，我闭上嘴巴，开始学习。
问题 10-3 （我自己假设的问题）
假设分拆数的生成函数为 P(x)，求乘积形式的 P(x)。