4.1.1 定义
“哥哥，哥哥，我说哥哥！”
今天是周六，尤里刚刚还在我房间里懒洋洋地看书，突然就蹬着腿叫了起来。尤里的脚看来已经痊愈了。
“啥事？你不是在看书吗？”
“太无聊啦 —— 出点什么题吧！”
“好好，那么我就出个著名的证明题。”
问题4-1
证明 不是有理数。
“这个人家不会……等等，嗯，这道题我在学校做过！老师讲得很复杂，说什么假设 是有理数，就可以说 是有理数。如果可以说 是有理数，因为 是有理数……不好意思，我证明不了。”
“呃……算了，那我们来一起想吧。”
“嗯！一起想啊，真好！”
“解数学题的时候，关键在于读清楚问题。”
“这是必然的啊，不读怎么解啊。”
“可是，有很多人不读问题就开始解题了。”
“还有这种人？”
“嗯嗯……我说的有点过了，应该是有些人不理解问题的含义就开始解题。”
“问题的含义？读一下问题不就知道了？”
“读问题的‘深度’可是因人而异的。”
“这个嘛，说得容易……”
“读问题的时候，重点在于弄清楚定义。”
“定义又是什么来着？”
“我们就在弄清楚‘定义的定义’。”我微笑着说道，“定义是语句的严格含义。就‘证明 不是有理数’这个问题来说，我们需要回答下面这两个问题。”
是什么？
有理数是什么？
“好麻烦喵。必须一个个回答吗？”
尤里摇晃着头，马尾辫也跟着一摇一摆的。
“必须一个个回答。不理解定义就解不了题啊。”
“唔……好吧， 我还是懂的。”
“那你说说看吧， 是什么？”
“这个简单，平方等于 2 的数对吧？啊，对了，得是正数。负数情况下 的平方也等于 2。”尤里大幅度地点着头，一副得意的样子。
“我就知道你肯定懂。不过这么答不好。比较一下下面这两种说法看看。”
× “平方等于 2 的数对吧？啊，对了，得是正数。”
○ “ 指的是平方后等于 2 的正数。”
“老师，人家知道啦。‘ 指的是平方后等于 2 的正数’，这样就行了吧。”
“嗯，很好。那接下来是有理数的定义。这个你懂吗？”
“嗯……‘有理数是能用分数表示的数’，这样吗？”
“可惜啊，答错了。”
“诶？！有理数不就是像 和 这样的分数吗？！”
“按你这么说， 也算是有理数喽？”我说。
“啊，这个不算。应该说是可以用 的形式表示的数字！”
“大致说对了。但是分母不能为 0。所以应该说，有理数指的是能用 的形式表示的数字。”
“整数指的是 ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... 这样的数字吧？”
“对。整理一下就是下面这样。”
整数指的是 ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... 这样的数字。
有理数指的是能用 的形式表示的数字。
“唉，光读问题就很累了喵。”尤里说。
“习惯了就好啦。养成弄清定义的习惯，这点也是非常重要的哦。”
“问题不要爽快地一读而过，而是要粘着它去读。”
“粘着它？”
“就是静下心来仔细读啦！”
“这无所谓了……刚刚我写出了整数和有理数的定义。读数学书要带着问题去读，要一边问自己‘定义是什么’一边读。”
“要是有不懂的词语该怎么办？”
“看这本书的索引。”
“索引指的是书最前面的那个吗？”
“不不，书最前面的是目录。目录位于书籍开头，按照页数次序编排，记载着每章的章节标题。而索引位于书籍的最后，写着某个词语在书的哪一页。找词语解释的时候就要用到索引，教科书和参考书这种需要查词的书上肯定会有索引。”
“索引啊……话说哥哥老师，人家都累了，咱们根本都没在解题，干脆吃个点心吧！”
“孩子们！薄煎饼烤好了哦！”厨房传来我妈的喊声。
“太好啦！简直是心灵感应！”尤里说。
“是食欲的力量。”我说。
4.1.2 命题
餐桌上摆满了刚刚烤好的薄煎饼。
“来证明 不是有理数吧。”我说。
“吃东西的时候不要讨论数学题。”我妈说。
“这是枫糖浆吗？”尤里望着糖浆瓶子。
“是啊，加拿大原产，100% 纯天然。”
“真好吃。”尤里咬了一口薄煎饼。
“尤里真是个好孩子。”我妈笑盈盈地开始洗平底锅，“红茶再过一会就好了。”
“接下来呢？”尤里对我说。
“试着说说接下来要证明的命题。”
“命题是什么？”
“对对，这种态度好，就是要抱有想弄清楚定义的这种态度。命题是可以判断真假的数学概念。打个比方，像‘不是有理数’‘存在无数个质数’这样的就是命题。再说得简单点，‘1 + 1 等于 2’这样的也是命题。”
“我懂了。命题对吧。—— 拿点黄油给我。”
“给。那来猜个谜，‘1 + 1 等于 3’是命题吗？”
“不是啊，因为 1 + 1 等于 2 嘛。”
“不不，‘1 + 1 等于 3’也是命题。这是假命题，也就是不正确的命题。因为命题是可以判断真假的数学概念，所以有真命题，也有假命题。”
“有没有无法确定是否正确的观点呢？”
“比如说‘枫糖浆很好吃’是尤里你的观点，可这个观点并不是命题。枫糖浆好不好吃因人而异，这不是能从数学上判断真假的东西。那么，我们接下来要证明的命题是什么来着？”
“接下来要证明的命题是……‘ 不是有理数’，对吧？”
“嗯。没错。要解证明题的时候，应该彻底弄清楚接下来要证明的命题，不能贸然就往前冲。”
“知道了。”
“弄清楚之后，就用写数学公式的方法来讨论吧。”我把薄煎饼迅速塞进嘴里。
“真没规矩！得细嚼慢咽好好品尝啊！”我妈端着红茶走来，大声叫道。
4.1.3 数学公式
我跟尤里在餐桌上铺开纸，继续我们的话题。
“学会用数学公式进行表达很重要，这会将问题引入数学公式的世界。数学公式是数学家们给我们备好的方便工具，当然要拿来用。”
“怎么用数学公式写出‘ 不是有理数’呢？人家完全不理解。”
“因为有理数指的是能用 的形式表示的数字，所以有理数可以全写成‘a 分之 b’这样的分数形式。”
“懂了。”
“尤里，你这样可不行啊，得问一问 a, b 指的是什么。只要出现字母就要马上弄清楚。在这里 a, b 指的是整数，但是分母 a 不为 0，所以‘ 不是有理数’这个命题可以写成‘不存在整数 a, b 使得 ’。这就是我们想要证明的命题。”
“唔，知道了啦。”
“那么在这里，我们假设‘存在整数 a, b 使得 ’。”
“嗯？这不就跟我们想证明的相反了吗？”
“嗯。不 过‘相反’不是逻辑用语，在逻辑用语上我们称其为否定。现在我们假设了想去证明的命题的否定。”
“否定，是吧。”
“当然，因为像 、、 以及 这样，分子分母同时乘以零以外的同一个数，得到的分数就全部相等，所以 a 和 b 的组合可能有无数种。在这里我们把分数 约分完的分母叫作 a，分子叫作 b。那么根据‘存在整数 a, b 使得 ’这个假设，就有下面这个等式。”
“话说，a 和 b 是整数吧？”
“对。而且分数 是最简分数。此时 a 和 b 存在什么关系？”
“互质吧？”
“喔，答得好快啊。”
“因为人家是‘互质’的达人嘛！”
“那是啥……那么，我们把左边的 平方，整理一下式子。”
“等等！为什么把两边同时平方啊？”
“请听题！”
“是！”
“ 的定义是什么？”
“ 指的是平方后等于 2 的正数。”
“没错。‘平方后等于 2’就是 重要的性质，所以我试着把两边同时平方，然后得到 2a2 = b2。a 和 b 是什么关系来着？”
“a 和 b 是互质的整数吧。”
“对。别忘了 a ≠ 0。—— 我们需要时刻确认变量表示什么，这点很重要。”
“唔，感觉数学是一门确认的学问啊。”
“因为我把焦点集中在整数上，所以试着‘调查奇偶性’。调查奇偶性，也就是研究是奇数还是偶数，这是一个方便的工具。左边的 2a2 是奇数呢？还是偶数呢？”
“不知道……不，我知道，是偶数。”
“没错。2a2 指的是 2 × a × a，因为乘了 2，所以 2a2 是偶数。然后又因为等式 2a2 = b2 的左边是偶数，所以右边也是偶数，也就是说 b2 是偶数。什么数平方后得偶数呢？”
“偶数？”
“对。也可以确定 b 是偶数。换言之，b 可以写成下面这种形式。”
b = 2B
“确实……不对！这个 B 是什么？”
“很好很好，你这一句问得好。B 是整数。因为 b 是偶数，所以存在满足 b = 2B 的整数 B。”
“话说，为什么会出现 B 这样的字母？比起‘存在整数 B 使得 b = 2B’来说，直接写成‘b 是偶数’不是更简单吗？”
“因为我想用数学公式思考啊，所以用数学公式表达了偶数这个词。”
“哥哥你还真是喜欢数学公式啊。”
“没错。因为数学公式是一种便利的交通工具。想走得更远，就要尽量使用它，不能慌慌张张地就往前跑。那么，因为 b 可以写成 b = 2B 这种形式，所以 2a2 = b2 也就可以变形成下面这种形式。”
“然后可以得到 a2 = 2B2。a 和 B 是什么来着？”
“是整数吧，你要确认多少次啊！”
“确认无数次。要自问自答到自己都觉得烦。顺便提一句，因为 a ≠ 0，所以上面的式子才成立。那么，把焦点集中在整数上的时候，我们试了什么方法？”
“什么呢……啊，奇数偶数？”
“对，是‘调 查奇偶性’。等 式 a2 = 2B2 的右边是偶数，就是说 2B2 是偶数，因此我们知道了左边也是偶数，也就是说知道了 a2 是偶数。平方后是偶数的整数……”
“所以都说了是偶数嘛！真是的……”
“嗯，因为 a2 是偶数，所以 a 也是偶数。换句话说，a 可以写成下 面这样的形式。”
a = 2A
“A 指的是某个整数。”我补充道。
“哥哥……我感觉跟刚才的过程好像啊。”
“对，很像。你有没有觉得不可思议？”
“什么？”尤里歪着头。
“将等式变形，就得到了关于 a 和 b 的信息。”
“有吗？啊，好比 a 是偶数这样的？”
“没错。a 和 b 都是偶数。”
“所以呢？”
“a 和 b 都是偶数，也就是说它们都是 2 的倍数哦，尤里。”
“诶？ a 和 b 不是‘互质’的吗？”
“对对。”我露出了微笑。尤里对条件真是敏感啊。
“如果 a 和 b 互质，最大公约数应该是 1，那么 a 和 b 就不可能都是 2 的倍数了。”
“尤里，这是为什么呢？”
“因为如果它们都是 2 的倍数，那么 a 和 b 的最大公约数就大于等于 2 了。”
“没错。这就是重点。我们知道了下面两个命题都是成立的。”
“a 和 b 是互质的”← 假定条件“a 和 b 是不互质的”← 将数学公式变形导出的结果
“诶……”
“我们把这样‘P ’和‘非 P ’同时成立的情况称为矛盾。”
“矛盾是指乱七八糟吗？”
“不不，认真听我讲，别突然偏离数学思维的轨道。数学不可能坏掉也不可能乱七八糟。矛盾指的是，对于命题 P ，同时存在‘P ’和‘非 P ’。这就是矛盾的定义。”
矛盾的定义
将 P 设为命题。
矛盾指的是，对于命题 P，同时存在‘P’和‘非 P’。
“一开始我们做出了这样的假设：将 a, b 设为互质的两个整数，则存在 。”
“嗯。没错没错。”
“我们并不知道这个假设是真是假，但肯定不是真就是假。然后我们从假设出发，进行了逻辑性推导，发现了矛盾。会出现矛盾是因为之前哪里搞错了吗？”
“嗯……我认为没有哪里搞错。”
“嗯。毫无疑问，我们的推导过程中每个步骤都是有理有据的。然而，只有一个命题，我擅自决定了它的真假。那就是‘存在整数 a, b 使得 ’这个假设。会出现矛盾是因为我擅自决定了这个命题为真。所以‘存在整数 a, b 使得 ’这个命题实际上是假的。”
“擅自决定‘这个是真的’，然后出现了矛盾就说‘抱歉抱歉，是假的’？”
“是呢。不过直到矛盾出现之前，我们的推导过程都不能出错呢。”
“那是自然。”
“那么，‘存在整数 a, b 使得 ’这个假设是假的，换句话说就是‘不存在整数 a, b 使得 ’。”
“光这样就证明了 不是有理数了吗？”
“对。因为根据定义，能用 的形式表现出来的就是有理数，不能用 的形式表现出来的就不是有理数。这种以定义为基石来一步步证明的感觉，你能明白吗？”
“差不多吧。证明这东西好麻烦啊。”
“刚才我们使用的证明方法叫作反证法。”
“反证法？”
“反证法指的是‘假设要证明的命题不成立，从而推导出矛盾的方法’。这是极为常用的证明方法哦。”
“啊！这是反证法的定义对吧！”
反证法的定义
反证法指的是“假设要证明的命题不成立，从而推导出矛盾的证明方法”。
解答4-1 （ 不是有理数）
使用反证法。
1. 假设 是有理数。
2. 此时，存在整数 a, b 满足以下条件（a ≠ 0）。
a 和 b 互质。
3. 将两边同时平方，去分母得 2a2 = b2。
4. 因为 2a2 是偶数，所以 b2 也是偶数。
5. 因为 b2 是偶数，所以 b 也是偶数。
6. 因此存在整数 B，使得 b = 2B。
7. 把 b = 2B 代入 2a2 = b2，得到 a2 = 2B2。
8. 因为 2B2 是偶数，所以 a2 也是偶数。
9. 因为 a2 是偶数，所以 a 也是偶数。
10. 因为 a 和 b 都是偶数，所以 a 和 b 不互质。
11. 这跟“a 和 b 互质”相矛盾。
12. 因此， 不是有理数。
“那么，我们把今天讲过的内容整理一下。”
先读问题
反复确认定义
习惯“○○ 指的是 ○○”的说法
用数学公式表达
如果出现整数，则“调查奇偶性”
如果出现变量，则要问“这个变量是什么？”
“除了这些，我们还学了反证法。觉得怎么样？”
“好累啊。不过我明白‘证明的感觉’了，还有定义和数学公式的重要性……可是人家记不下这么长的证明过程喵……”
“这你就错了。把刚才的证明过程全背下来也没有意义。自己打开笔记本，拿起铅笔，再用自己的力量证明一次。”
“嗯……用自己的力量？”
“对。自己的力量。大多数情况下都不会特别顺利，可能会在某一步卡住，所以证明不出来也不要灰心丧气哦。自己感觉自己懂了，但怎么都证明不出来。遇到瓶颈的话就看看书，或者是读读自己以前写的笔记，不断重复练习，直到自己能独立完成整个证明过程为止。通过不断地重复，自己学习数学的能力也会增强。这跟把过程全背下来截然不同，这里养成的是对于数学性构造的理解能力和逻辑思维，以及熟练运用数字的性质来处理问题的能力。”
“遵命！热血教官！”
4.1.4 证明
我们回到了房间。
“哥哥，我拿点糖哦。”尤里从架子上取下了瓶子，“柠檬，柠檬……诶？柠檬的已经吃完了？！唉，那就拿哈密瓜的好了。哥哥，别吃人家的柠檬糖嘛。”
“那又不是你的糖……”
“我说哥哥，证明有这么重要吗？”尤里舔着哈密瓜糖问我。
“是啊。数学家们最重要的工作之一，就是把研究出来的结果以‘证明’的形式保留下来。历史上有无数的数学家做过无数的工作。现代的数学家们则通过‘证明’在历史上烙下自己的脚印。”
“这样啊。证明原来是数学家的工作啊……”
“对啊。数学家们一直在赌上性命去证明。”
“我在学校学过，但是没有像哥哥讲得这么深刻啊。我以前一直只认为证明题要比计算题麻烦得多。证明是这么重要啊，数学家们重要的工作……但是‘赌上性命去证明’，是不是有点太夸张了？”
“嗯，即使证明不出来也不会死，说‘赌上性命去证明’确实有点过头了。不过啊……在某件事上‘花费时间’，不就相当于‘赌上性命’吗？因为活着的时候能做的事情是有限的，在这个世界上能用的时间是有限的，数学家们把‘有限’生命中的一部分用在了证明上。”
“有限？”
“人类的生命是有限的，却能在数学中处理无限。这也是相当了不起的。能写出‘对于任意整数 n……’这种表现也很不可思议。只是写了一个字母 n 就能表示出无限的整数，用一个字母就能捕捉到无限。变量也是由从前的数学家们想出来的工具啊。”
“用一个字母就能捕捉到无限……啊，这就是‘将无限宇宙尽收掌心’的意思啊！数学家真是喜欢无限啊。”
“或许吧。话说，尤里你知道‘对于任意的 n，都具有 ○○ 的性质’这个命题的否定是什么吗？”
“‘不具有 ○○ 的性质’吧？”
“‘对于任意的 n，都不具有 ○○ 的性质’吗？”
“嗯。”
“不，不对哦。‘对于任意的 n，都具有 ○○ 的性质’的否定是‘对于某个 n，不具有 ○○ 的性质’或者是‘存在某个 n，不具有 ○○ 的性质’。举个例子，就这个糖果瓶来说，
‘所有糖果都是柠檬味儿的’
这个命题的否定是
‘某个糖果不是柠檬味儿的’
或者
‘存在不是柠檬味儿的糖果’。
只需要存在一个不是柠檬味儿的糖果就可以否定所有了。比如说哈密瓜味儿的。”
“攻破一个就可以击破‘所有’吗？”
“就是这样。反证法从原命题的否定开始证明。如果想证明对于任意的糖果都存在某个性质，就要假设存在某个不符合这个性质的特殊糖果，从而推导出矛盾。这样的话，就能把精力集中在这个特殊糖果上深入思考。这就是人们经常运用反证法的原因之一。”
“原来如此。”
“命题的证明是永远存在的。永远指的是时间的无限性。已被证明过的命题，在证明它的数学家死后仍然是被证明过的。证明是严密的、不可推翻的。数学领域的证明是穿越时空的时间机器，是经过岁月的洗涤也不会腐朽的建筑物。证明为人类在有限的生命中去触碰永远提供了机缘。”
“哥哥，你真帅啊！”尤里带有几分嘲弄般地语气笑着说。
“只有你会说我帅……不过，受到表娘还是很高兴的喵。”我说。
“哥哥！别学人家说话嘛！”