4.2.1 奇偶
“就这样，我给她讲了怎么证明 不是有理数。”我说。
放学后，我们在音乐教室随便找了个座位闲聊。盈盈一心一意地弹着钢琴。刚才那首曲子是二声部创意曲。我把之前跟尤里讲的话告诉泰朵拉跟米尔嘉，不过米尔嘉一直面对着盈盈的方向。
盈盈这个女孩子今年上高二，跟我、米尔嘉同年级不同班，担任钢琴爱好者协会“最强音”的会长，除了上课，基本都坐在音乐教室的钢琴前面。
“学长真是会教人啊。”泰朵拉说，“‘互质’……用英语该怎么说呢？”
“我记得是 relatively prime。”我说。
“relatively prime，就是相对地质，对吧。”泰朵拉点点头说，“可能指的是两个数互相起到质数的作用吧。”泰朵拉英语很好，用英语理解似乎能理解得更透彻。
“你知道其他的证明方法吗？”一直看着盈盈的米尔嘉转过身来，冷不丁地问了一句。还以为她在专心听弹琴，没想到她一直在认真地听我们说话啊。
“其他的证明方法？”我很疑惑。
“用反证法。”米尔嘉说，“假设 是有理数，则存在整数 a, b 使得
把两边同时平方，去分母得到
2a2 = b2
到这一步，跟你的证明是相同的…… 在这里，我要问了 —— 如果将 2a2 分解质因数，有几个质因数 2 ？”
“怎么能知道有几个 2 啊。”我说。
“确实，我们没法知道个数。但是，个数是，整数。”米尔嘉一字一顿，听得人心急。
“整数……哦。”
“说到整数就？”
“就要调查奇偶性……对吗？”
泰朵拉回答。
诶？
不研究 2a2 的奇偶性，却去研究质因数 2 的个数的奇偶性？
“那么，就像泰朵拉说的，我们来研究一下奇偶性看看。”米尔嘉说，“2a2 含有奇数个质因数 2 ？还是偶数个质因数 2 ？”
“啊！奇数个！”我提高了嗓门。
没错，我明白了！因为 a2 是平方数，所以包含偶数个质因数。当然，也包含偶数个质因数 2。而 2a2 是 a2 再乘以一个 2，所以有奇数个质因 数 2……
“对。2a2 = b2 的左边有奇数个质因数 2，那么右边呢？”
“因为 b2 是平方数，所以有偶数个质因数 2……”我说。
“所以呢？”米尔嘉丝毫不给我喘息的机会，追问道。
“两边质因数 2 的个数不一样。矛盾。”我说。
“存在奇数个质因数 2”← 从左边可知“不存在奇数个质因数 2”← 从右边可知
“推导出了矛盾。”米尔嘉说，“根据反证法， 不是有理数。Quod Erat Demonstrandum。证明完毕。”
米尔嘉竖起食指。
“好了，这样我们的工作就告一段落了。”
这样啊……着眼 于“质因数 2 的个数的奇偶性”，从而推导出矛盾，而且还省去了 a 和 b 互质这个前提。有意思。
解答4-1a （ 不是有理数的另一种证明方法）
使用反证法。
1. 假设 是有理数。
2. 存在整数 a, b 使得 (a ≠ 0)。
3. 将两边同时平方，去分母得到2a2 = b2。
4. 左边含有奇数个质因数 2。
5. 右边含有偶数个质因数 2。
6. 这就推导出了矛盾。
7. 因此， 不是有理数。
泰朵拉一副不理解的模样。
“怎么了，泰朵拉？”米尔嘉问道。
“在刚才的证明过程中，出现了
2a2 = b2
这个等式。”泰朵拉说，“米尔嘉你刚才的意思是这个等式左边和右边的值相等对吧，但是我感觉刚刚你用的不是‘值相等’这一点，所以我才会有些焦躁。”
“喔？泰朵拉指出来的这点很有趣嘛。你什么意见？”米尔嘉把话锋转向我。
“诶？比较两边质因数 2 的个数，确实不等于比较两边的值……吗？不过你的证明应该是对的，因为式子是个等式，所以只要判断左边和右边整数的结构相同就可以了。整数的结构是用质因数表示的，所以……”
米尔嘉把食指伸到我面前，晃了两三下。
“废话太多了。只要说‘根据质因数分解的唯一分解定理，等式两边每个质因数的个数都是一样的’就行了。”
“这样啊……”泰朵拉说，“还有质因数分解的唯一分解定理这回事啊……嗯，真后悔没一下子想到。我思维练习还不够啊。不过，尽管这样……”
“米尔嘉，你那个证明方法很有趣啊。”
“嗯……”
米尔嘉说着把脸别过去，突然站起来，开始跟还在不停地弹着钢琴的盈盈说起话来。
这么说来，米尔嘉在要跟我分个高下的时候绝对不会移开视线，但是有时候也会唰地看向别处，比如说被我表扬的时候……难不成米尔嘉是在害羞？
4.2.2 矛盾
米尔嘉和盈盈开始四手联弹。这应该也是巴赫的曲子吧。
“反证法还真是常用啊。”泰朵拉坐到我旁边，“我……对反证法很不拿手。虽然能假设原命题的否定，但是总记不住。因为心里总留意着这个命题是错的……”
“嗯，确实。反证法很不容易，因为要从错误的命题出发，进行正确的论证，再不断推导出错误的命题。不仅如此，最后想准确地推导出矛盾也是很难的。”
“没错！”泰朵拉用力点着头。从她身上飘来一阵甜甜的香气。
“就是这样，推导矛盾好难啊，总觉得‘推导矛盾’就好像在做错事一样。呜呜呜……”泰朵拉继续说道。
“推导矛盾指的是表明
‘P ’且‘非 P ’
P 是什么样的命题都无所谓。用逻辑公式写下来就是这样。
对了，教科书中把 P 的否定写作 ，而讲逻辑的书里则写作 （not P）。虽说要推导出矛盾，也不是非得在自己的证明过程中推导出 P 和 两种结论。打个比方，P 可以是证明完毕的命题，也就是定理。这时只要在自己的证明过程中推导出 ，然后说‘跟定理 P 相矛盾’就可以了。”
泰朵拉双眼瞪得大大的，听得入神。
“刚才在米尔嘉的证明过程中，推导出了两个命题，即‘含有奇数个质因数 2’和‘不含有奇数个质因数 2’。这就是导出 P 和 两种结论的例子。”
P 含有奇数个质因数 2 不含有奇数个质因数 2
“我好像被‘矛盾’这个词给搞昏头了。刚才学长很容易地就说出了‘推导出 P 和 两种结论’，可是一提到矛盾，我感觉就要引发大混乱了。一定是成语故事里面那个矛盾给我的印象太深刻了。”泰朵拉摆出拿矛刺盾的样子。
“嗯，我明白。”
泰朵拉轻轻咬着指甲，沉默了一会儿。又开始慢悠悠地说道：“用反证法表明矛盾的时候用 ，命题 P 是什么都可以吗？就是说……用反证法证明数论的时候，也可以利用几何和解析定理推导出矛盾吧？”
“嗯，可以啊。跟数学领域什么的没有关系。”
“不管对于任何定理 P，把 甩上去就可以……这样的话，重要的是知道定理是什么啊……”
“这么说确实如此。不过 P 不一定是著名的定理，也可以是一个小的命题，只要被证明了就行。”
“好吧，那我以后推导矛盾的时候，尽量想着 。啊，对了……学长？”泰朵拉声音一下子变小了。
“嗯？”
“那，那个……”
钢琴声停了。
泰朵拉小声说了句“完蛋”。
“纯真公主和青涩王子！回家喽！”盈盈说。
“大家快跟米尔嘉女王大人一起回家吧！”
在数学领域，除了证明定理 P 以外，
其他更常用的方法是假设 P 为 false，从而推导出矛盾
（即推导出 false 或相当于 false 的结论）。
常抄个近道：不直接表明 false，
而是去证明像 这样明显相当于 false 的结论。
——David Griess,Fred B. Schneider, A Logical Approach to Discrete Math [21]