约翰和杰克去清扫一个大烟囱。那烟囱只有踩着里面的钢筋踏梯才能上去，杰克在前面，约翰在后面抓着扶手一阶一阶地爬上去了。下来时，杰克依旧走在前面。于是，钻出烟囱时杰克的脸上全被烟囱里的烟灰蹭黑了，而约翰脸上竟连一点烟灰也没有。
约翰看见杰克的模样，心想自己一定和他一样脏，于是就到附近的小河里去洗了又洗。而杰克看见约翰干干净净，就以为自己也一样干净，只草草地洗了洗手就上街了。街上的人都笑痛了肚子，还以为杰克是个疯子呢。
杰克后来对儿子说：“其实别人谁也不能做你的镜子，只有自己才是自己的镜子。拿别人做镜子，白痴或许会把自己照成天才的。”
这个故事读来妙趣横生，发人深省。故事的最后一段话，固然可以说明自我观照的重要，但是我们难道真的不能把别人当自己的镜子吗？
在回答这个问题之前，我们先来看博弈论中一个著名模型：脏脸博弈。假定在一个房间里有三个人，三个人的脸都很脏，但是他们只能看到别人而无法看到自己。这时，有一个美女走进来，委婉地告诉他们说：“你们三个人中至少有一个人的脸是脏的。”这句话说完以后，三个人各自看了一眼，没有反应。
美女又问了一句：“你们知道吗？”当他们再彼此打量第二眼的时候，突然意识到自己的脸是脏的，因而三张脸一下子都红了。为什么？
当只有一张脸是脏的时候，一旦美女宣布至少有一张脏脸，那么脸脏的那个参与人看到两张干净的脸，他马上就会脸红。而且所有的参与人都知道，如果仅有一张脏脸，脸脏的那个人一定会脸红。
在美女第一次宣布时，三个人中没人脸红，那么每个人就知道至少有两张脏脸。如果只有两张脏脸，.两个脏脸的人各自看到一张干净的脸，这两个脏脸的人就会脸红。而此时如果没有人脸红，那么所有人都知道三张脸就是脏的，因此在打量第二眼的时候所有人都会脸红。
即便没有美女的宣布，参与者也知道至少有一个人的脸是脏的。为什么美女的一句看似无用的废话，三个人就都知道自己的脸是脏的呢？
这就是共同知识的作用。共同知识的概念最初是由逻辑学家李维斯提出的。对一个事件来说，如果所有博弈当事人对该事件都有了解，并且所有当事人都知道其他当事人也知道这一事件，并且所有当事人都知道所有当事人都知道这一事件，那么该事件就是共同知识。
假定一个人群由A、B两个人构成，A、B均知道一件事实f，f是A、B各自的知识，而不是他们的共同知识。当A、B双方均知道对方知道f，并且他们各自都知道对方知道自己知道f……
这就相当于动态博弈中的倒推法，是获得决策信息的方式。但是它与一条线性的推理链不同，这是一个循环，即“假如我认为对方认为我认为……”。也就是说，当“知道”变成一个可以循环绕动的车轱辘时，我们就说f成了A、B间的共同知识。因此，共同知识涉及一个群体对某个事实“知道”的结构。在上面的博弈中，美女的“废话”所引起的唯一改变，是使一个所有参与人事先都知道的事实成为共同知识。
在静态博弈里，没有一个博弈者可以在自己行动之前得知另一方的整个计划。在这种情况下，互动推理不是通过观察对方的策略进行的，而是必须通过看穿对手的策略才能展开。
要想做到这一点，单单假设自己处于对手的位置会怎么做还不够。即便你那样做了，你会发现，你的对手也在做同样的事情，即他也在假设自己处于你的位置会怎么做。每一个人不得不同时担任两个角色，一个是自己，一个是对手，从而找出双方的最佳行动方式。
为了对这一点加深了解，我们来看下面这个据说来自微软的试题。
有3顶黑帽子，2顶白帽子。让三个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子。每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，只能看见站在前面那些人的帽子颜色。最后那个人可以看见前面两个人头上帽子的颜色，中间那个人看得见前面那个人的帽子颜色但看不见在他后面那个人的帽子颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见。从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子的颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人。现在最后面一个人说他不知道，中间那个人也说不知道，当问到排在最前面的人的时候，他却说已经知道。为什么？
这是共同知识的机制在发生作用。最前面的那个人听见后面两个人都说了“不知道”，他假设自己戴的是白帽子，那么中间那个人看见他戴的白帽子就会做如下推理：“假设我戴了白帽子，那么最后那个人就会看见前面两顶白帽子，因总共只有两顶白帽子，他就应该明白他自己戴的是黑帽子。但现在他说不知道，就说明我戴了白帽子这个假定是错的，所以我戴了黑帽子。”问题是中间那人也说不知道，所以最前面那个人知道自己戴白帽子的假定是错的，所以推断出自己戴了黑帽子。
在这个过程中，只有通过三个回合的揣摩，每个人才能知道其他人眼里看到的帽子颜色，从而判断自己头上的帽子颜色。