“学长，你看，我把初中数学书中所有的定义都整理出来了，然后根据定义举了些具体例子。”我正在图书室里做数学计算题，泰朵拉说着朝我走来，笑嘻嘻地打开练习本给我看。
“哇……太厉害了！”我感叹道，更何况她是一夜之间完成的。
“我比较喜欢做这种事情，就像做词汇手册一样。虽然我想过要重读一遍数学课本，但是算术和数学有很大的区别，可能是式子中有文字和没文字之间的差别吧，学长。”泰朵拉说。
2.9.1 方程式和恒等式
“那么，就刚才说到的文字和数学公式的话题，我们来谈谈方程式和恒等式吧。泰朵拉，你解过这样的方程式吗？”我问。
x - 1 = 0
“嗯，是的。x 是 1 吧。”泰朵拉答道。
“嗯，x - 1 = 0 这个方程就这样解出来了。那么，这个式子呢？”我又问。
2(x - 1) = 2x - 2
“好，我将这个方程式重新整理一下，解解看。”泰朵拉说。
“咦？怎么变成 0 等于 0 了？”她很惊讶。
“其实 2(x - 1) = 2x - 2 不是方程式，而是恒等式。将左边 2（x - 1） 展开后，就和右边 2x - 2 相等。也就是说，无论 x 取何值，这个方程式都能成立，因为这是左右永远都相等的式子，所以我们把此类式子叫作恒等式。严格地说，这是关于 x 的恒等式。”我说。
“方程式和恒等式不同吗？”她问道。
“不同哦。方程式侧重于‘当 x 取某特定值时，这个式子成立’；而恒等式则侧重于‘x 取任意值都能使这个式子成立’。这两个概念可是有很大的区别的。说到方程式，则自然而然地会有让你求‘使这个式子成立的特定值’之类的问题。这也就是方程式求解的问题。而说到恒等式，则自然而然地会出现‘这个式子用任意数字代入都能成立吗’之类的问题。这也就是恒等式的证明题。”我说。
“啊，原来如此……。它们差别这么大啊。我还从没意识到呢。”泰朵拉说。
“嗯，一般人不会注意，但还是留意下比较好。从公式演变来的等式，一般都是恒等式。”我说。
“如果光看式子能马上就看出是方程式还是恒等式吗？”她问道。
“有时候一眼就能看出，有时候却不行。有时还必须根据上下文来判断。也就是说，我们必须要领会写这个等式的人到底是想将式子写成方程式还是恒等式。”我答道。
“写式子的人……”她若有所思。
“将式子变形时，就是恒等式。看看下面的式子吧。”
“恒等式就这样可以一直写下去，无论 x 取何值，等式都能成立。也就是说，恒等式是一系列的连续等式，一步步往下推导，最终所得的等式就是恒等式。”
“嗯，对。”
我说：“恒等式的连续推导就是为了显示公式变形过程中的‘慢镜头’。所以‘啊，式子好多好复杂啊’这种消极的想法是不可取的。一步步看下去就可以了。与恒等式相对，你看看下面这个式子如何？”
“两个式子中，第一个式子是一个恒等式。也就是说，它侧重于说明‘无论 x 取何值， 这个式子都能成立’。第二个等号是用来建立方程式的。所以，从上述式子整体来看，这题主要侧重于‘要解 这个方程式的话，先将其恒等变形，然后求方程式 (x - 2)(x - 3) = 0 的解即可’。”我说。
“哇，原来是这样理解的啊。”她说。
“除了方程式和恒等式，还有定义式。当有复杂的式子出现时，给这个式子取个特定的名称，就可以将整个式子简化。取特定名称时要使用等号。定义式不像方程式那样需要求解，也不像恒等式那样需要证明，而是自己觉得怎样方便就怎样定义。”我接着说道。
“能给我举个例子来说说定义式究竟是什么吗？”她显得有些不太明白。“比如说，将比较复杂的 α + β 取名为字母 s。这种取名方式，也就是定义，可以表示成以下形式。”我说道。
s = α + β 定义式的例子
“好，那我要提个问题。”泰朵拉饶有兴趣地举着手问我。她明明已经在我面前了，没必要特地举手发言吧。真是个可爱的孩子。
“学长，到这里我已经不懂了，为什么要取名为 s 呢？”她问我。
“随便取什么名都可以啊。因为只是使用这个名字代替原来的式子，所以无论是 s 还是 t 都可以。一旦定义 α + β 为 s 后，就说明以后碰见 α + β，我们就可以用 s 来代替。如果自己定义得恰当，列出的式子就很容易被看懂和理解。”我答道。
“哦，明白了。那 α 和 β 又是什么呢？”她接着问。
“嗯，我们假设这些是在其他地方定义的文字。如果要写定义式 s = α + β，一般左边写的是字母，右边写的是需要被取名的式子。这里是将在其他地方定义好的 α 和 β 组成的式子取名为 s，就是这样。”
“定义式取什么名都可以吗？”她问道。
“嗯，一般取什么名字都可以。虽说如此，但是不能再使用已经定义过的其他式子的名字。比如说，已经将 α + β 定义为 s 了，而后又将 αβ 定义为 s，就会产生歧义。”我补充说。
“是啊，这样的话，取名也就没有意义了。”她赞同我的说法。
“还有，我们一般都把圆周率写成 π，把虚数单位写成 i，如果我们再把这些常用字母换成别的字母，就会让人觉得非常别扭。当你看到数学公式中出现新的字母时，不要惊慌，想到‘啊，这可能是定义式吧’就可以了。在解说部分中如果写着‘将 s 定义为以下式子’‘将 α + β 定义为 s’等内容，那一定就是定义式了。”我说。
“啊，是这样啊。”她说。
“哦，对了，泰朵拉，下次你查一下数学书中出现的含有字母的等式吧，如方程式、恒等式、定义式等，可能还会有些别的式子……”我说。
她答应道：“好的，我试着找找。”
“数学书中会出现很多公式。那些数学公式全都是写公式的人为了向别人表达自己的想法而写的式子。”我说。
2.9.2 积的形式与和的形式
“对了，在看数学公式的时候，关注式子的整体形式是很重要的。”我说。
“整体形式是什么意思？”泰朵拉问道。
“比如说下面这个式子，把它当作方程式来看。”
这个式子的左边是乘积的形式，也就是积的形式。一般我们将组成乘积形成的一个个式子称为因式，或者因子。
“把一个个式子称为因式或因子是不是和因式分解有关系呢？”她问道。
“嗯，有关系啊。因式分解就是把式子分解为乘积的形式。质因数分解就是把数字分解为质数的乘积形式。省略乘法符号 × 的表现形式是很常见的。以下三个式子所表示的意思相同。”我说。
“我懂了。”
我说：“另外，对于 的情况，两个因式中至少有一个应该是 0。为什么这样说呢？是因为这个式子是积的形式。”
“我明白了。两个因式相乘，结果为 0 时，这两个因式中应该有一个为 0。”
“如果要用语言来表达的话，比起‘两个因式中应该有一个为 0’这一说法，‘两个因式中至少有一个为 0’的说法更为严密。因为也可能出现两个因式同时都为 0 的情况。”我说。
“啊，对哦。加上‘至少’这个词后更为严密。”
我说：“嗯。至少有一个因式为 0 就意味着 x - α = 0 或 x - β = 0 成立。换句话说，x 为 α 或 β，就是这个方程式的解。”
“嗯。”
“接下来，我们把 (x - α)(x - β) 这个式子展开看看。下面这个式子是不是方程式呢？”我问道。
“不是，这个是恒等式。”她答道。
“嗯。这个展开式就是将积的形式转化为和的形式。左边积的形式中有两个因式，右边和的形式中有 4 个项。”
“项？项是什么？”她不明白。
“我们将构成和的形式的一个个式子叫作项。这里我们给它加上括号，会比较容易理解。请看下面的式子。”
“对了，这个式子还没有整理呢，让人觉得不舒服。怎么整理好呢？”我提醒她。
“嗯，将像 -αx 和 -βx 之类的带有 x 的东西……”她的话还没说完，就被我打断了，“不是‘东西’，是‘项’。另外，像 -αx 和 -βx 之类的只含有一个 x 的项叫作‘关于 x 的一次项’，或者就叫作‘一次项’。”我说。
“哦。将‘关于 x 的一次项’整理后得到的式子是这样的吧。”
“正是如此。作为项的说明这是正确的。但是一般还要再变下形，将负号提出来。”
“泰朵拉，上面这种式子的变形称为‘合并同类项’，你知道吧？”我问。
“嗯，我知道有‘合并同类项’这个说法。但我从没有像今天这样理解得这么透彻。”泰朵拉说。
“那我考你一下。下面这个式子是恒等式呢还是方程式？”我给她出题了。
“这个式子是展开后合并同类项吧。无论 x 取何值都成立的式子是……恒等式。”她答道。
我说：“嗯，答对了！我们继续讨论。先考虑下面这个方程式。这个式子是积的形式。”
积的形式的方程式
“运用刚才的恒等式，这个方程式就可以变形成以下形式，也就是所谓的和的形式的方程式。”我又说道。
和的形式的方程式
“这两个方程式虽然表现形式不同，但却是同一个方程式。只是运用恒等式将式子左边进行了公式变形罢了。”
“嗯，明白了。”
“我们看到方程式为积的形式时，这个方程式的解为 α 或 β，那也就是说，和的形式的方程式的解也应该是 α 或 β。因为这是同一个方程式。”
“这种形式简单的二次方程，一看就能求出解。比如说，我们比较一下下列两个方程式。这两个方程式在形式上非常相似。”
“确实是很像。 α + β 和 5 类似，αβ 和 6 相似。”泰朵拉说。
“是啊。也就是说，要解 这个方程，只要找出相加得 5、相乘得 6 的两个数就可以了，即 x = 2 或者 3。”
“确实是这样啊。”她说。
“积的形式、和的形式其实都只是数学公式的众多形式中的一种。当和的形式的方程为 0 时，我们很难求得解。但如果积的形式的方程为 0 的话，答案就一目了然。”我说。
“啊，我好像有种‘明白了的感觉’。‘解方程’和‘建立积的形式’之间有很密切的关系。”泰朵拉豁然开朗。