第二天放学后，图书室里人很少。
“怎么样？”我问道。
泰朵拉一脸哭相，摊开了笔记本。笔记本上只写着一行数学公式。
“学长……看来我数学确实很烂。”她说。
“没有没有，你抓住了原式所要表达的意思啊。这个式子并没有错哦。”我鼓励她。
“可是学长，我完全不知道该从何开始做起，虽然我想从中发现一些有趣的东西……”她泄气地说。
“这种无限持续下去的式子总让人有种已经掌握了的感觉，但真要认真分析时，又觉得非常困难。泰朵拉，你的挑战精神真的很令人佩服哦。接下来的步骤我们一起来完成吧。”
“啊，不好意思哦，又要浪费您宝贵的时间了。”她充满歉意地说。
“没有，没关系的。我们一点点做吧。”
8.2.1 部分和与无穷级数
“我们先来看看题目中的式子 ，这个式子中难以理解的是 ∞ 这部分吧。”我说。
“嗯，无穷大的数字是……”泰朵拉说。
“∞ 不是‘数字’，至少一般它不作为数字来用。比如，实数中就不包括 ∞。”我说。
“啊，是吗？”她不敢相信。
“是啊。一看到 这个式子，人们就会觉得这个是‘k 由 1 变化 到无穷大，然后将这些 相加起来的和’。但是，寻找无穷大的数到底在哪里，然后把 k 给算出来的方法是不正确的。无穷级数 是 部分和的极限，可以定义为以下的式子。”
“不好意思，lim 是什么呢？”她问。
“是 limit，也就是指极限。如果用数学上的定义来解释的话，可能一时半会儿解释不完，那现在我就简单说说。假设有数列 这个式子就表示当 n 非常大的时候 an 的值到底是什么。将 n 增大的时候，an 可能会变得越来越大，也可能会一会儿变大一会儿变小，还可能会变得趋向于某一个定值。而 这个式子就可以定义成 an 趋向的那个定值。也就是说， 这个数学式表示了 an 所到达的‘最终目的地’。确定到达的最终目的地称为收敛。”我答道。
“嗯……真是好难啊。但是关于 n 变得很大很大的时候 an 到底会怎样，这一点我倒是听懂了……”她说。
“嗯，是挺难的。也难怪，用日常生活中的语言来表示确实很难，我们还是用数学公式来表示吧。首先，我们先将‘最终目的地是被定义出来的东西’这一点牢记在心。虽说是被定义出来的东西，但也并不一定是靠直觉就能理解的。我们不应该直接求无穷级数的数字，而应该考虑部分和之后再思考从 n 变到无穷大的极限，这才是正确的方法。”
“对……对不起。我不太明白无穷级数和部分和的区别……”她打断我的话问道。
“这就是无穷级数，也可以称为级数。”
（使用了 k 的式子）
“而这个就是部分和。”
（使用了 k 的式子）
“你能发现它们的区别吗？”我问她。
“嗯，一个是 ∞，一个是 n。但是，因为 n 是个变量，而 ∞ 也是吧，这样一来不就是相同了吗？”她疑惑不解。
“不是啊，这可有很大的不同。的确，n 虽然是个变量，但它表示有限大的数字。而 ∞ 不是数字，不能代入 n。将 n 理解为是有限大的数字，就意味着 中有有限个项。也就是说，计算结果肯定是能够求得的。但是，像 这样有无限个项相加的式子的话，就不一定能求得计算结果了。刚才我稍稍提到过‘变得越来越大’和‘一会儿变大一会儿变小’等状况，那种情况下要到达的最终目的地是无法确定的吧。不确定的数值是不能被当作数字来处理的。不能确定要到达的最终目的地称为发散。所以在处理无限个项的时候，会碰到这种比较危险的状况。”
“是的……我知道了，我们在处理无限时要格外小心。是叫发散吧，一旦和无限有牵连，即使写出了数学公式也可能无法确定具体数值吧。”泰朵拉说。
“接下来是写法上需要注意的地方。下面两个式子中出现了省略号（...），表示无限的 ... 是式（1）和式（2）中的哪个呢？”我问道。
“表示无限的 ... 是不是第（2）个式子呢？”泰朵拉不确定地问。
“正 是。式（1）中出现的 ... 并不是表示无限的 ...。这里只是因为地方不够写不下了，才用 ... 来表示的。这个式子只表示有限个项，必定有一个确定的数值，这并不可怕。但是 式（2） 中出现的 ... 表示无限。这个式子中隐藏着 lim，也就暗示着‘有可能会有不确定的数值’。有限项的 ... 和无限项的 ... 意思完全不相同，可要注意了哦。”我提醒道。
“原来即使看上去相同的 ... 意思也不同啊！”泰朵拉感叹道。
8.2.2 从理所当然的地方开始
“啊呀，我们又陷入无限这个话题了。在求无穷级数之前，首先必须习惯计算有限项的和。为了习惯 ，我们把 n 为 1, 2, 3, 4, 5 的情况分别代入式子计算一下看看。”我说。
我又说道：“那么接下来我们研究一下部分和吧。首先，要求 的值，n 的值是关键，所以就要先关注 n 为何值。比如用 Hn 来表示也可以，这就是 Hn 的定义式了。”
（Hn 的定义式）
“啊，等……等一下。我不太明 白‘n 的值是关键’这一点。”泰朵拉打断我说。
“嗯，像你这样有不懂的地方就问出来是很好的习惯噢。‘n 的值是关键’就是说，只要确定了 n 的具体数值，比如 5 或 1000，那么 这个式子的数值也就能确定了。所以，以 n 为下标，可以写出 Hn 这个式子。这样一来，我们就可以将式子写成 H5 或者 H1000 了，也就等于给它们命了名字。”
“那为什么要以 H 来命名呢？”她不解。
“因为卡片上写着 ，所以我将其部分和写成了 Hn。”我解释道。
“啊，原来是这样。对了，写成 Hn 的话，虽然剩下了 n，但是 k 为什么消失了呢？”她问道。
“ 中的 k 只是在 Σ 的过程中起作用的变量，这从外边是看不出来的。像 k 这样的变量称为约束变量，也就是被约束在 Σ 的过程中的意思。其实也未必需要将这个变量取名为 k，随便取个自己喜欢的字母就可以了。i, j, k, l, m, n 等也是经常被使用的。但是 i 也用来表示虚数 ，所以为了不使人混淆，还是避免取名为 i。另外，本来将约束变量取名为 n 也是可以的，但是在这里不可以，因为 n 在这里代表别的意思。如果将 写成 的话，式子的意思就变得很奇怪了。”
“嗯，我明白了。不好意思，我刚才打断了您的话。”她表示歉意。
“没关系的。有什么不懂的地方就问，那很好啊。”说着，我们俩都笑了。
8.2.3 命题
“那么，我们来列举一下根据 所能得到的信息。正所谓‘举例是理解的试金石’嘛！下面的这种说法是正确的吗？”我问道。
如果 n = 1，则 Hn = 1。
“嗯，正确啊。因为 H1 等于 1，但是这不是理所当然的吗？——噢，我知道了，‘我们要从理所当然的地方开始思考问题’。”泰朵拉说。
“对啊对啊，你记得很牢嘛。那么，下面的这种说法是否成立呢？”我又问。
对于所有的正整数 n，Hn 都大于 0。
“嗯，成立啊。”她答道。
“像这样可以判断是否成立的数学论题就称为命题。命题可以用文字表述，也可以用数学公式来表示。那么，下面这个命题是否成立呢？”我问。
对于所有的正整数 n，当 n 增大时，Hn 也随之增大。
“嗯……是成立的吧。n 逐渐增大就意味着加上去的数字越来越多吧。”她答道。
“对对对，如果正数相加的话就会变大吧。‘当 n 增大时，Hn 也随之增大’这个命题用数学公式来表示的话也是可以的。用数学式子表示会显得更严密。”我说。
对于所有的正整数 n，Hn n + 1。
“的确，这个命题是成立的。但是，比起‘当 n 增大时，Hn 也随之增大’，‘’这种说法更加严密。严密……嗯。”泰朵拉陷入了沉思。
在泰朵拉思考的时候，我一直默默地等着。
“啊，我明白了。这就是‘增大’这个动作性的表现方式与使用不等号来表示‘大’这个叙述性的表现方式的差别吧。就好比英语中一般动词和 be 动词的差别。”她说道。
“啊？”听了泰朵拉的话，我有点吃惊。“增大”和“大”的区别？“一般动词”和“be 动词”的区别？——啊，原来如此，可能确实是这样。曾几何时，村木老师也说过这样的话。就像观察数列的变化情况和通过关系式把握数列的各项间的关系……
“学长，您怎么了？”泰朵拉问。
“没什么，听你这么一说，我刚才在想，原来还有你这样的想法啊。其实我只是想说‘比起日常生活中的语言，用数学式子来表示显得更严密’罢了。话虽如此，泰朵拉你究竟是什么人呀？”我说道。
“啊？什么意思？”泰朵拉突然睁大眼睛，歪了歪脑袋。
“没什么。我们继续往下看。下面这个命题是否成立呢？”我问。
对于所有的正整数 n， 成立。（？）
“嗯，成立。因为我们将 Hn 定义为分数的和，所以前后两个数字相减结果得到分数也是理所当然的。”
“很可惜，这次错了。 这个式子不成立。右边的分母不正确。分母不该是 n，如果是 n + 1 的话就成立了。”
对于所有的正整数 n， 成立。
“咦？奇怪了。啊，这样啊。学长，您给我陷阱让我跳，真过分啊。”泰朵拉嘀嘀咕咕地抱怨。
“对不起对不起。但是，你不仔细确认就下结论，这样可不行哦。”我说道。
“虽说如此……”她不满地撅起了小嘴。
“对了， 应该是什么，这个从 Hn 的定义式中就能求出来了。你做做看。”我说。
“好的，嗯……”泰朵拉开始算起来。
这就是 Hn 的定义式。接下来将 具体展开。
好了，完成了。接下来再将各项的顺序调整一下。
这下好了吧，学长。
“嗯，做得不错。泰朵拉你从中发现了什么命题吗？”我问道。
“嗯……因为出现了 ，那么这个命题怎么样呢？”她边思考边写下。
对于所有的正整数 n，当 n 增大时， 的值变小。
“厉害厉害。不错，如果用数学式子来表示的话是什么样呢？”我问道。
“是这样吧。”她说。
对于所有的正整数 n， 成立。
“正是如此。非常好。”我赞许道。
“，相加下去的数字在逐渐‘变小’，这里就是用‘小’这个数学公式来表现这种‘变小’的情况的吧。”她补充道。
8.2.4 对于所有的……
“泰朵拉，像这样把数学公式写出来可是很重要的哦。即使是理所当然的内容也没关系，先把它们都写下来看看。这就是练习使用数学公式来表达的好方法噢。”我说。
“嗯。我想起来了，学长以前也说过‘要把数学公式像揉捏黏土一样玩弄’。”泰朵拉一边说着“玩弄”，一边用手摆弄起揉捏黏土的动作，“啊……但是‘对于所有正整数 n’这部分不是数学公式吧？”她又问道。
“嗯，不是。但是如果将正整数的集合用 来表示的话，就可以用这样的数学公式来表达。”
“这个数学公式怎么读啊？”她问。
“‘’可以读作‘For all n in ... ’，翻译过来就是‘对于 所有的正整数 n 都……’或者‘对于任意正整数 n 都……’吧。 就是将 All 这个单词中的 A 倒过来写。”我答道。
“ 和普通的 N 有所不同吧。”她说。
“确实不一样。如果写成 N 的话，给人的感觉像是普通的数字。而写成 就是为了表示‘这不是数字，而是集合’。”我说。
“∈ 这个符号又表示什么呢？”泰朵拉问。
“∈ 这个符号其实是利用了元素 ∈ 集合这个形式，表示‘这是集合中的元素’。写成 这个形式的话，就表示‘无论从集合 中选择哪个元素 n 都……’的意思。”我回答。
“就是说无论选择哪个数字都可以吧！学长，不知道为什么，我觉得这像是在用数学语言写作文似的。这不叫英语作文，叫数学作文吧？”泰朵拉笑着说。
“数学作文……确实，数学也有这一方面的功能吧。用数学公式来表示的话，经常能大大精简语言。所以，在解读写有数学公式的地方时，我们还是慢慢地来比较好。”我说。
“数学公式就像浓缩果汁一样吧。一口气喝下不妥吧？”她问。
“好了，我们把数学式子 Hn 一个一个地写出来看看。”
“按顺序观察这些式子，我们来关注一下变量，也就是 这部分。”我说。
“就像这样， 的数值在逐渐变小。正如泰朵拉你刚才所说的那样。”我说。
“嗯。”泰朵拉应声道。
“虽然 H1, H2, H3, H4, H5, ... 这些数本身是逐渐增大的，但是它们‘增大的部分’，也就是‘增加的数量’是逐渐变小的。渐渐地，这些数字就只是增大一点点，于是……”
我还没说完，泰朵拉就抢着说道：“啊，请等一下。那个‘增加的数量逐渐变小’这个说法就可以用我刚才所写的数学公式来表示吧。嗯……就是这个。”
对于所有的正整数 n， 成立。
“对对，正是如此。增加的数量逐渐变小这一说法有点模棱两可，如果像这样用数学公式来表达的话，意思就清晰明朗了。也就是说，让人更容易理解了。也有人可能会认为数学公式很复杂，让人难以理解，但是如果不用数学公式来表达，反而变得让人更加难以理解。数学公式就是语言。如果能够很好地利用的话，不仅能帮助自己理解，还能帮助自己把自己想说的话表达出来。”我说。
“嗯。那么，我们将现在的命题用数学公式来写写看……这样可以吗？”她问道。
“嗯，很不错哦。正是如此。”我赞许她道。
听了我的赞美，泰朵拉看上去很高兴。
8.2.5 存在……
“好了，我们逐渐可以看出问题了。这是最初的宝藏。”我说。
“什么呢？”泰朵拉不解。
“到目前为止，我们把 Hn 定义为 。如果 n 逐渐变大的话，那么 Hn/sub> 本身也逐渐增大。但是，Hn 增加的数量却在逐渐变小。那么，只要 n 不断增大的话，Hn 就会一直增大下去吗？还是说，即使 n 变得很大很大，Hn 也不会比某一个特定数字大？”我提问道。
“这个问题也就是说，下面的式子是一直增大下去呢，还是大到一定程度就停止了呢。对吧？”泰朵拉用手撑着头，问道。
“嗯，是的。从那张纸片中可以非常自然地想到这个问题。也就是说，我们要研究它是发散还是收敛。我们用数学公式来表达。”
问题 8-1
如果将实数的集合用 来表示，正整数的集合用 来表示，那么下面的式子是否成立呢？
“这是日语片假名ヨ吗？”泰朵拉指着式子中的一个符号问。
“不是哦，∃ 是把 Exists 中的 E 倒过来写的符号。”我回答说。
“是表示‘存在’的意思吗？也就表示‘For all M in , n exists in ... ’的意思吧？”泰朵拉说道。
“泰朵拉你英语发音真标准啊。既可以说是‘n exists’，也可以说是‘there exists n’。再补充上 such that 的话，更容易让人理解。”
For all M in , there exists n in such that .
“学长，如果用语言来表达的话该怎么说呢？”泰朵拉问我。
“如果一定要用语言来表达的话，可以这样说。”我回答。
对于任意实数 M，存在正整数 n 使式子 成立。
“虽然很复杂……但不管怎么样，我还是明白了。”泰朵拉说。
“下面（a）和（b）两个数学公式表达的是两种完全不同的意思，你知道吗？”我在笔记本上写下两个数学公式。
“这两个式子有点长，为了让你更容易理解，我加上括号给你看看吧。”我边说边加上括号和解说。
“如果用英语来表示的话……”我又接着写道。
For all M in , there exists n in such that . (a)There exists n in , such that for all M in . (b)
泰朵拉口中轻轻反复念着这段英语，考虑了片刻。
“我觉得自己应该是明白了。顺序很重要。式（a）是先决定 M，然后再探寻 n。在探寻 n 的时候，M 是不变的。但是，式（b）是先决定 n，然后再根据 n 来探寻所有的 M 吧？”泰朵拉说。
“嗯，对哦。式（a）是先选择 M 然后再寻找 n，主张对于所有的 M 都能找到相对应的 n。每选一个 M，n 都可以有所改变。但是式（b）是首先寻找 n。这个 n 究竟是一个什么样的数字呢？它是关于所有的实数 M 都能使不等式成立的伟大的 n。在式（b）中，选择 M 的时候 n 不变。这次例题 8-1 的主张是式（a），能理解吗？”我说。
“嗯，勉强能懂。”泰朵拉说。
“式（a）和式（b）意思上的不同是很难用语言来表达的。但是，如果用数学公式来表达的话，却非常清楚明朗。——当然也要在你正确解读的基础上。”我说道。
“的确，如果用语言来描述它们的区别的话太难了。对了，这个不等式中出现的 M 原本应该是什么呢？”泰朵拉问。
“泰朵拉，那你认为是什么呢？”我反问道。
“嗯……噢，这个数字是不是很大啊？”她问。
“嗯，是这种感觉吧。与其说是‘一直变大下去’，倒不如给任意实数取上 M 这个名字，然后说‘比 M 还要大’，这个表达方法也更清晰。如果不管 M 取哪个数，都能找到像例题 8-1 中那样与 M 对应的 n 的话，就可以说 Hn 一直变大下去。但是，如果对于某个数 M，与之相对应的 n 不存在的话，那么就不能说 Hn 是一直变大下去的。”
“原来如此……虽然我们绕了个大圈子，但是意思总算是表达清楚了。”泰朵拉喘了口气。
“嗯，你累了吧？”我说道。
“没有没有。——有一点累吧。但是，多亏听了学长的讲解，不知怎么的，我觉得自己‘数学作文的词汇量’增大了呢。”
“你也很努力啊，泰朵拉。今天就说到这里吧。快到图书管理员瑞谷老师出现的时候了。明天放学后我们再一起打开百宝箱的盒子吧。”我提议道。
“好的！学长，我……我很开心！”泰朵拉说。
“嗯，是啊，数学是很有意思的哦。使用数学公式这个新型语言，可以让表达不再模棱两可，还可以整理思路。”
“嗯，特别是我和学长一起……嗯，是啊，是这样的。明天也请多多关照啰！”她说。