今天是图书室整理图书的日子，所以不能去图书室自修。于是，我和泰朵拉决定去教学辅楼的休息室“神乐”继续计算。我们占了角落里的位子。
“打扰了。”泰朵拉朝我恭敬地鞠了一躬，坐到了我身边。她来晚了一会儿，但身上的香味依旧。不知什么地方有人在练习着长笛的二重奏。
我沉默着开始写起了数学公式，是昨天问题的解答。
问题 8-1
如果将实数的集合用 来表示，正整数的集合用 来表示，那么下面的式子是否成立呢？
泰朵拉在旁边看我写。
“好，先到这里，我们歇口气。算到中途要变形成不等式，这个你知道吧。为了方便一般化的变形，不用算到最后，算到 即可。现在我们只是考虑了 H8 的结果，如果计算 H1, H2, H4, H8, H16, ... ，就会是这样哦。”
“将它们进行一般化变形并不难。假设 m 是大于等于 0 的整数，以下式子成立。”
“但是，这个是不等式吧。如果不是等式的话，就无法准确地求出 的值吧。”泰朵拉问道。
“我们现在的目的不是准确求出 的值，而是弄清 究竟可以变 大到什么程度。上式中的 m 如果很大的话，情况会变得如何呢？你想想看。”
突然，泰朵拉兴奋地说：“啊！我知道了，我知道了！会一直无限变大下去！如果 m 变大的话， 会一直无限变大下去！所以，嗯，考虑到不等号的因素，如果 m 无限变大的话，那么 也会一直无限变大下去！”
“嗯，不要激动。我们从问题这里出发一步一步做做看。思考一下当我们得到 M 的时候能够使 成立的 n 是什么。”我说。
“嗯，我已经知道了。对于无论多大的数 M，将 m 扩大到很大的话，就能够找到使
成立的 m。比如，只要取 m 为大于等于 2M 的整数就可以了。如果找到了 m 的话，接下来就可以求 n = 2m 了。也就是说，利用 m 来求 n，这个 n 也就是所要求的 n。”她说。
“是啊，所以昨天问题 8-1 的解答是……”
解答 8-1
如果将实数的集合用 来表示，正整数的集合用 来表示，那么下面的式子成立。
“这样啊，用不等式表示是可以的喽。即使不求出准确的数值，也可以从小的数值开始逼近准确值……”泰朵拉像在做排球的托球姿势那样举起双手说。
“嗯，这样我们就找到了一块宝物。 可以无限变大下去。”我说。
“真是不可思议啊，学长。有了 这个逐渐变大的数字，一下子就可以推出 的数值。为了逼近准确的数值我们使用了不等式。虽然到此为止没有什么问题……可是这个式子加上的是逐渐变小的 ，但是总和 却可以无限变大下去，真是不可思议啊。”泰朵拉不住地点头。
“嗯，我们将‘无限变大下去’这一说法用数学公式来表示看看。这里，为了简单起见，我们将所有项都设为是大于 0 的数列。”我边说边在笔记本上写了起来。
“所有项都是大于 0 的数列就可以表示成 ak > 0 (k = 1, 2, 3, ... )，对于部分和 ，如果
成立的话， 中的 n 趋向于无穷大， 称为向正的无穷大发散。这就是定义。然后将它表示为
的时候正好符合问题 8-1。现在如果定义‘向正的无穷大发散’这句话的话，可以表示为这样。”我说。
“无穷级数 向正的无穷大发散。”
泰朵拉一直盯着我的笔记本，认真地思考着，说：“无论是什么正数，只要无限往上加，总会变得很大很大吧，这应该就是所谓的无穷大吧？”
“嗯？刚才你说了很奇怪的理论哦。那么，接下来的题目怎么样呢？”我问。
问题 8-2
如果将实数的集合用 来表示，正整数的集合用 来表示，，那么下面的式子成立吗？
“嗯，我认为能够成立。但是……将很多个 ak 这个正数相加的话，也就是说将 n 扩大，那么和就会变大吧。然后，总有一天和 要比 M 大。”泰朵拉答道。
“嗯，我理解你的心思，但你过分夸大了无穷大的作用。虽然我这种说法本身也很奇怪。”
“嗯？会有无论加上多少个正数都不会比 M 大的情况吗？”泰朵拉问。
“当然啰。比如，数列 ak 的通项公式为
的时候将会怎么样呢？”我提示道。
“嗯？”泰朵拉不太明白。
我解释道：“这种情况下，对于所有的正整数 k 来说，ak ＞ 0 都成立。但是， 并不能变得这么大，因为……”
这就是 ak 的定义式。接下来，我们把 具体展开。
接下来，为了运算方便，我们先加上一个 ，然后再把它减去。
这样一来就可以利用等比数列的求和公式了。
如果去除分子部分的 的话，我们可以得到以下不等式。
接下来就只剩计算了。
“嗯，不好意思……最后的计算， 的计算结果不是 2 吧？”泰朵拉问。
“嗯？——啊，是真的呢，最后计算结果是 1。最终下面这个式子应该成立吧。”
“也就是说式子 中无论 n 有多大，都不可能比 1 大。无论相加多少，由于 迅速趋向于 0，所以总和都不会比 1 还要大。如果 M < 1 的话，n 虽然是存在的，但是如果 M ≥ 1 的话，这样的 n 就不存在了。所以把 作为题目的反例，问题 8-2 就迎刃而解了。”我说。
问题 8-2
如果将实数的集合用 来表示，正整数的集合用 来表示，，那么下面的式子不一定成立。
“原来如此。当 n 变大的时候，有两种情况吧，一种是部分和也无限变大下去，另一种是部分和不无限变大下去。对了，学长也有计算失误的时候呀。”泰朵拉说。
“我当然也有错误的时候啊。不过，刚才的计算错误并不影响证明的过程。”我说。
泰朵拉不放过我刚才的错误，模仿着我的口气说：“但是，不仔细确认那可不行哦。您是这么说过的吧，学长。”
一瞬间，空气凝固了，我和她互相看了一眼，笑出声来。