放学后的教室中，我向正沉默着准备回家的米尔嘉招呼了一声：“喂，米尔嘉，上一次，我因为自己在发呆，没有听清你说的话，嗯……真是对不起。关于昨天的 ζ(1) 的话题，我对于 ζ 函数不是很了解，能不能给我说说关于 ζ(1) 朝着正的无穷大发散的问题？”
“嗯……”米尔嘉似乎觉得这个也太难于口头表达了。
于是，米尔嘉拿起一支粉笔，开始在黑板上写起来。
“这个是 ζ 函数 ζ(s) 的定义。是黎曼的 ζ 函数。”
（ζ 函数的定义式）
米尔嘉接着写数学公式。
“ζ(s) 使用了无穷级数的形式来定义。这里，当 s = 1 的时候，就是调和级数了。也可以用 Harmonic Series 的首字母 H，写成 的形式。”她说。
（调和级数的定义式）
“换句话说，ζ 函数中 s = 1 时的式子和调和级数 是等价的。”她说。
“噢，这样啊。那么，我和泰朵——我思考过的无穷级数 是和 ζ(1) 相同的吧。”我说。
村木老师给我和米尔嘉出的课题原来是相同的啊？ H 原来就是 Harmonic 的首字母啊？
米尔嘉没有理会我的话，继续往下说：“下面的部分和 Hn 称为调和数。”
（调和数的定义式）
“也就是说，n 趋向于无穷大的时候，调和数 Hn 也就趋向于调和级数 了。”米尔嘉说。
教室里回响着米尔嘉用粉笔写字的声音。
（调和级数和调和数的关系）
“调和数 Hn 在 n 趋向于无穷大时，朝正的无穷大发散。”
“换句话说，调和级数朝正的无穷大发散。”
“也就是说，ζ(1) 朝正的无穷大发散。”
“为什么说调和级数朝着正的无穷大发散呢？是因为……”说到这里，米尔嘉才斜眼看了我一下，这是她今天第一次看我，然后就咧开嘴笑了，和以往的米尔嘉一样。
不知道为什么，我觉得松了口气，说起了向泰朵拉展示过的证明过程。就是利用“假设 m 是大于等于 0 的正数，则 成立”这一点所做的证明。
“对对对。你所做的证明和 14 世纪奥里斯姆做证明时使用的方法相同哦。”米尔嘉说。
ζ 函数、调和级数、调和数
（ζ 函数的定义式）
（调和级数的定义式）
（调和数的定义式）
写到这里，米尔嘉闭上眼睛，手指划起了字母 L 状，像是在指挥一样，接着又睁开了眼睛。
“嗨，你还记得我们曾在离散函数的世界里寻找指数函数吗？”她说。
“嗯，我记得啊。”好像是建立了差分方程式，然后求得解的。
“那么，你看看这个问题该怎么做吧。在离散函数的世界里寻找‘指数函数的反函数’——也就是寻找对数函数。”她说。
问题 8-3
请定义与连续函数世界里的对数函数 相对应的离散函数世界里的函数 L(x)。
“好了，那么我先回家了哦。你慢慢思考吧。”米尔嘉说。
米尔嘉擦了擦沾有粉笔灰的手指，就朝教室门口走去。走到门口又回头说：“我事先提醒你哦，你的弱点是不肯画图。仅仅反复玩弄公式并不是数学。”