9.3.1 微分的规则
和泰朵拉一起来到车站前那家名叫“豆子”的咖啡店，我已经不知道这是第几次了。不知不觉中，我们养成了并排坐的习惯。因为面对面的话，式子比较难阅读。坐下来后，我们马上就摊开了笔记本。
“现在开始讨论的内容中，如果不懂三角函数的微分和多项式的微分的话，多少有些困难。难的地方我会只讲一些重点，你就认为那是‘微分的规则’就好了。”
“没关系。我会加油的。”泰朵拉紧紧地握着双手。
“假设 sin x 用如下幂级数来表示。”
“sin x 能这样表示并不是一目了然的。虽然必须要严格地证明一下，但是现在不想深入。我们的目标是弄清无穷数列 是一个怎样的数列。也就是要把 sin x 这个函数分解成 这个数列。这个就叫作函数的幂级数展开。到这里为止，你都听懂了吗？”
泰朵拉认认真真地点了点头。
“这当中，a0 的值刚刚泰朵拉使用 x = 0 找了出来。因为 sin 0 = 0， 所以以下式子成立。”
看着泰朵拉微微地点了点头，于是我继续说了下去。
“你还不懂微分的知识，但是现在没有时间，所以我们暂时先不讲那些微分的定义。你可以先把微分想成是单单的计算法则，把微分看作是‘根据函数造出函数的一种计算’。反正不管看作什么都行。”
“根据函数造出函数的一种计算？”
“是的。把函数 f(x) 微分掉，就能得到别的函数。我们把得到的函数叫作 f(x) 的导函数。f(x) 的导函数写成 f/'(x)，当然也有别的写法，但是 f/'(x) 是最经常使用的。”
“这里我列举几个微分的规则。虽然这些规则根据微分的定义能够严格证明，但是我们在此先往下进行下去。”
微分的规则（1） ：常数的微分等于0。
微分的规则（2）：xn 的微分等于 。
（指数下降）
微分的规则（3）：sin x的微分等于cos x。
“这些微分的规则应该是从最一开始就给定的吧？”泰朵拉问道。
“嗯，是这样的。那么，把这个式子的两边用 x 微分一下吧。”我在笔记本上写下式子。
“微分的结果就是如下形式，这里你应该可以理解吧？泰朵拉！”
她反复地比较着微分的规则和上面的式子。
“嗯……左边是微分的规则（3）对吧？把 sin x 微分掉就变成了 cos x，右边各项使用了微分的规则（2）。”
“是的。其实本应该把微分运算符的线形性和对幂级数的适用性也证明一下的。”
“啊。但是 a0 怎么不见了呢？”
“a0 是和 x 没有关系的常数，所以适用微分的规则（1）——常数的微分等于 0。”
“我明白了，学长。我终于理解根据微分的规则能够得到以下式子了。”
9.3.2 更进一步微分
“看一下下面这个式子，泰朵拉你知道 a1 的值是多少吗？如果有 y = cos x 的图像马上就能知道了。”
“嘿……和刚刚的问题是相同的道理吧？ cos x = ... 的式子中，用 x = 0 代入就行了对吧？嘿……就是这样子的。”
“根据图像可知 cos 0 = 1，所以就得到了这个。”
“是的。”我点了点头。
泰朵拉脸上露出了笑容。
“学长！我知道后面应该是什么样子的了。接下来把 cos x 微分一下吧。”
“嗯。说得对！因此，如果有 (cosx)/' 的计算法则就好办了，也就是 cos x 的‘微分的规则’。”
微分的规则（4）：cos x 的微分等于 -sin x。
“也就是要把 cos x 微分一下……”
“现在就变成这样了。”泰朵拉脸蛋红红地说道。
“嗯。对的。现在要求的系数是多少呢？”我问道。
“是 a2。和平常一样，把 x = 0 代进去。”泰朵拉急急忙忙地写在笔记本上。
“这样 a2 = 0 就求出来了。好像在不断地用那个最强有力的武器啊。我好像找到感觉了。下一个‘微分的规则’是什么呢？”
“有没有都不要紧了。”
“可是这回不得不把 -sin x 微分掉啊……啊，我知道了！这个根据 sin x 的微分就可以知道了，对吧？”
“是的。剩下的就是反复重复。”
“反复重复？”
“把 sin x 微分一下就变成 cos x，把 cos x 微分一下就变成了 -sin x …… 这样就形成了‘周期是 4 的反复’。这是三角函数的微分的特征。”
三角函数的微分
“我懂了。那么下面试着求 a3。”
“好，求出来了，。接下来再求 a4……”
“请稍等。这样一个一个地把系数求出来也是可以的，但是最好整体一起考虑。”
“嗯？——啊，我会了。”
9.3.3 sin x 的泰勒展开
我们喝下已经完全冷掉的咖啡，打开笔记本新的一页。我口头提示她，泰朵拉自己把式子写在笔记本上。
“现在我们要把 sin x 展开成幂级数。刚刚求出了 a0, a1, a2, a3 这 4 个系数，接下来要把系数整体一起求出来。先把 sin x 的幂级数展开式重新写一遍。”我说道。
“是，是这个对吧？”
“嗯，是这样的。不过把 x 写成 x1 更好些。”
“两边一直微分下去。注意微分的时候不要计算系数，留下积的形式。”
“嗯？学长……不用计算吗？”
“是。不计算。因为把积的形式保留下来容易发现‘规则性’。先试着做做看吧。特别是要注意常数项。”
“好。”
“学长！找到‘规则性’了。5·4·3·2·1 这种有规则的积显现出来了！——原来如此啊，这就是‘微分的规则（2）’中出现的‘指数下降’的意思吧。终于搞懂了乘数变化的规则性了。”
“对对。自己动手写一下式子，那种感觉就油然而生了。不是光用眼睛来看，用手亲笔写写看也是非常重要的。泰朵拉。”
“还真的是那样呢。”
“接下来，我们观察一下导函数中 x = 0 时情况会怎么样。”
“好。观察。就像小时候写牵牛花观察日记一样呢。嗯……因为 sin 0 = 0，cos 0 = 1，所以……”
“找到规则了。”
“嗯。左边的 1 写成 +1 是不是更好一点？因为我们要求的是数列 对吧？所以把上面的式子整理一下，使 ak 都在左边，5·4·3·2·1 写作阶乘 5!，这样 sin x 就能展开成幂级数了。先来具体地写一下下式的 ak 吧。”
“好，0 可以跳掉， a1, a3, a5, ... ，好，写完了。”
“嗯。泰朵拉写的幂级数展开，其实就叫作 sin x 的泰勒展开。”
sin x 的泰勒展开
“我正要说这是泰勒展开呢。”
“……”
“……”
“……”
“但是这个要记住的话好像挺难的，因为很复杂。”
“确实很复杂，但是仔细观察一下，我们会发现这是理所当然的。比如，分母上的阶乘 1! 3! 5! 是通过多次微分导致指数下降得到的。+ 和 - 交互出现，以及没有 x 的偶数次方，原因就在于 0, +1, 0, -1 的反复。自己动手导出来就不会忘掉了。”
“哈哈，原来如此。或许并不是那么难。”
“像这样故意不使用阶乘和幂次方重新写一遍，就会发现式子变得富有节奏了。”
“感觉很整齐，这样写也可以吗？”
“当然可以啦。为了让自己更好地理解，为了发现乐趣，尝试各种写法都是可以的。好像欧拉在书中也把 x2 写成过 xx，但是在考试的时候写成 xx 就不太好了。好了，这样我们就能得出问题 9-1 的答案了。”
“啊，那个卡片啊，我都忘记了！答案是这样的，对吧？”
问题 9-1
假设函数 sin x 能展开成如下所示的幂级数。这时，求数列 的通项公式。
“数列 可以根据 k 除以 4 的余数分类。”我说。
解答 9-1
9.3.4 极限函数的图像
“话说回来，sin x 的泰勒展开的含义，我们再更进一步思考一下。再把 sin x 的泰勒展开写出来。”
“嗯……可以写那个整整齐齐的泰勒展开吗？总感觉想写一下。”
“喂，泰朵拉。这个式子是由无穷级数，也就是无限个项的和组成的。现在考虑一下无穷级数中有限个项的部分和。就取到 xk 项为止的有限个项的部分和吧，假设部分和的名字为 sk(x)。当然，sk(x) 也是关于 x 的函数。”
我从书包中把画图用的纸取出来。
“试着画出函数 s1(x), s3(x), s5(x), s7(x), ... 的图像，也就是 k = 1, 3, 5, 7, ... 时 y = sk(x) 的图像。这样就会发现这个函数在渐渐地接近 sin x 的样子。”
我边说边把图像画了出来。
“原来如此。学长，我当时没有理解把 sin x 用幂级数来表示的含义。通过‘微分的规则’得出那些式子，这个我是理解的，不过当时我还纳闷‘得出这些式子又能怎么样呢’。但是，看了这个图像，我明白了，当 k 变大时，sk(x) 越来越接近 sin x。正弦波不断波出去的样子好可爱啊。”
“是的。”
“但是，学……学长。我讲得不是很好。就是说 sin x 这个东西只不过是个名字对吧？也就是仅仅是把某个函数写成 sin x 而已。泰勒展开也只是把那个相同的函数用幂级数的形式表示出来而已。sin x 和幂级数的式子外观不一样，但是函数的性质是相同的。所以，变成幂级数的形式就显得非常方便。不好意思，我总是说不好。”
“不，不，泰朵拉，你很厉害。你把本质搞懂了。想要研究函数的时候，那个函数如果能进行泰勒展开的话，就能够在方便操作的多项式的延长线上进行研究。比如，像刚才的 sk(x) 那样，在考虑近似的情况时就很有帮助。因为是无穷的，所以在处理的时候要多加注意。但是幂级数的形式是非常方便的。这么说来，在解斐波那契数列和卡塔兰数时使用的生成函数也是幂级数的形式。”
“我在学校听老师讲课的时候，尽是注意些细节的地方，结果主干的内容反而不懂了。为什么做，在做什么，我大脑全混乱了。但是，听学长的话时完全相反。细小的地方——日后自己也能搞懂的地方都能略过去，为了什么而干什么，思路都搞得清清楚楚的。”
“不，不是那样。泰朵拉的理解能力……”
“就是那样的！”
泰朵拉搪住了我的话。
“是那样的。学长。比如今天，我对于微分完全不懂，幂级数和泰勒展开这些词语，我也是有生以来第一次听说。但是，我搞懂了。如果使用泰勒展开的话，就能够像玩弄多项式一样研究函数。虽然让我自己一个人来做的话肯定是不行的，但是我现在知道要把复杂的函数问题转化为无限次多项式——幂级数——xk 的无限和这样的方法了。”
泰朵拉把拳头在胸前握得紧紧的。
“我想，今天从学长这里学的泰勒展开我是不会忘记的。我抓住了一种思考问题的方法——当要研究函数时就要想到‘试一试泰勒展开如何’，这都多亏了学长您呐！”
她的视线突然从我的脸上转移开，落到了桌子上画着图像的那张纸上。不知道为什么她的脸颊变得红彤彤的。
“但是……但是……占用了学长您这么多宝贵的时间，真是对不起。我真的是非常爱听学长的话。学长，我……”
泰朵拉抬起头，一动不动地看着我说道。
“学长教我的泰勒展开，我一生都不会忘记。”